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त्रिकोणमिति

गणित

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सार

मानक कोणों के मान, तीन सर्वसमिकाएँ और ऊँचाई के लिए tan अनुपात से त्रिकोणमिति के लगभग सभी प्रश्न हल हो जाते हैं।

मुख्य बिंदु

मानक मान: sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2; tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।
sin²θ + cos²θ = 1; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1।
sin(90° − θ) = cos θ; tan(90° − θ) = cot θ।
ऊँचाई: tan θ = ऊँचाई ÷ क्षैतिज दूरी।
भूमि से उन्नयन कोण, शीर्ष से अवनमन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)।

व्याख्या

यदि sin θ = p/h हो, तो त्रिभुज बनाएँ: आधार = √(h² − p²)।
θ + φ = 90° के लिए sin θ = cos φ और tan θ × tan φ = 1।
दो कोणों वाले ऊँचाई के प्रश्न: प्रत्येक स्थिति के लिए tan लिखें और दूरियाँ घटाएँ।
a sin θ + b cos θ का अधिकतम मान √(a² + b²) होता है।

चरण-दर-चरण

त्रिभुज बनाएँ।
अनुपात या सर्वसमिका चुनें।
मानक मान रखें।

उदाहरण

छाया 20 m, सूर्य का उन्नयन कोण 45° → ऊँचाई = 20 × tan 45° = 20 m।
कोण 60°, छाया 10 m → ऊँचाई = 10√3 ≈ 17.32 m।
sin θ = 3/5 → cos θ = 4/5, tan θ = 3/4।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: ऊँचाई और क्षैतिज दूरी के लिए tan के बजाय sin लेना।
सामान्य भूल: उन्नयन कोण और शीर्ष पर बने कोण में भ्रम।
सामान्य भूल: यह भूलना कि sin²θ का अर्थ (sin θ)² है।

त्वरित पुनरावृत्ति

sin² + cos² = 1।
tan = ऊँचाई/आधार।
sin(90° − θ) = cos θ।

अभ्यास MCQ

44 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 37.34
2. 31.11
3. 24.89
4. 43.56
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 31.11. sin 45° का मानक मान लेकर 44 से गुणा करें = 31.11।
54 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 45.82
2. 53.46
3. 38.18
4. 30.55
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 38.18. sin 45° का मानक मान लेकर 54 से गुणा करें = 38.18।
64 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 54.31
2. 63.36
3. 36.2
4. 45.25
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 45.25. sin 45° का मानक मान लेकर 64 से गुणा करें = 45.25।
74 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 62.79
2. 52.33
3. 73.26
4. 41.86
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 52.33. sin 45° का मानक मान लेकर 74 से गुणा करें = 52.33।
84 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 71.28
2. 83.16
3. 47.52
4. 59.4
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 59.4. sin 45° का मानक मान लेकर 84 से गुणा करें = 59.4।
76 × sin 90° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 106.4
2. 76
3. 60.8
4. 91.2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 76. sin 90° का मानक मान लेकर 76 से गुणा करें = 76।
38 × sin 30° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 19
2. 22.8
3. 15.2
4. 26.6
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 19. sin 30° का मानक मान लेकर 38 से गुणा करें = 19।
87 × sin 0° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 0
2. -1
3. 1
4. 2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 0. sin 0° का मानक मान लेकर 87 से गुणा करें = 0।
61 × sin 90° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 61
2. 48.8
3. 85.4
4. 73.2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 61. sin 90° का मानक मान लेकर 61 से गुणा करें = 61।
8 × sin 30° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 5
2. 6
3. 3
4. 4
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 4. sin 30° का मानक मान लेकर 8 से गुणा करें = 4।
11 × sin 90° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 13.2
2. 11
3. 15.4
4. 8.8
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 11. sin 90° का मानक मान लेकर 11 से गुणा करें = 11।
42 × sin 0° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 2
2. 0
3. -1
4. 1
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 0. sin 0° का मानक मान लेकर 42 से गुणा करें = 0।
99 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 98
2. 70
3. 84
4. 56
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 70. sin 45° का मानक मान लेकर 99 से गुणा करें = 70।
55 × sin 60° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 38.11
2. 66.68
3. 47.63
4. 57.16
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 47.63. sin 60° का मानक मान लेकर 55 से गुणा करें = 47.63।
14 × sin 45° का मान ज्ञात कीजिए (मानक त्रिकोणमितीय मान का प्रयोग करें)।
1. 9.9
2. 13.86
3. 11.88
4. 7.92
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 9.9. sin 45° का मानक मान लेकर 14 से गुणा करें = 9.9।

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