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संख्या पद्धति

गणित

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सार

संख्याओं का वर्गीकरण (प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, अभाज्य, भाज्य) किया जाता है और विभाज्यता के नियमों से बिना लंबे भाग के गुणनखंड जाँचे जा सकते हैं।

मुख्य बिंदु

प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं; पूर्ण संख्याओं में 0 शामिल है; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी आती हैं।
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं; 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
4 से विभाज्यता: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य; 8 से: अंतिम तीन अंक; 3 या 9 से: अंकों का योग।
11 से विभाज्यता: (विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों के अंकों का योग) 0 हो या 11 का गुणज हो।
यदि N = p^a × q^b × r^c, तो गुणनखंडों की संख्या (a + 1)(b + 1)(c + 1) होती है।
घातों के इकाई अंक 4 के चक्र में दोहराते हैं (2: 2,4,8,6; 3: 3,9,7,1; 7: 7,9,3,1; 8: 8,4,2,6)।

व्याख्या

भाज्य संख्या से विभाज्यता के लिए उसके सह-अभाज्य गुणनखंड लें: 12 से विभाज्यता का अर्थ है 3 और 4 से, न कि 2 और 6 से।
a^n का इकाई अंक निकालने के लिए n को 4 से भाग दें; शेषफल 0 हो तो चक्र का चौथा पद लें।
p^a q^b के गुणनखंडों का योग = (1 + p + … + p^a)(1 + q + … + q^b)।
1 से 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ हैं; विकल्प हटाने के लिए इन्हें याद रखें।

चरण-दर-चरण

पहचानें कि क्या पूछा गया है (गुणनखंड, अंक, विभाज्यता)।
गुणनखंड करें या नियम लगाएँ।
उत्तर चुनने से पहले एक विकल्प से जाँच करें।

उदाहरण

क्या 7,32,152 संख्या 8 से विभाज्य है? अंतिम तीन अंक 152 ÷ 8 = 19 → हाँ।
360 के गुणनखंडों की संख्या: 360 = 2³ × 3² × 5 → (3+1)(2+1)(1+1) = 24।
7²³ का इकाई अंक: चक्र 7, 9, 3, 1; 23 को 4 से भाग देने पर शेष 3 → तीसरा पद → 3।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: 1 को अभाज्य मानना या 2 को अभाज्य न मानना।
सामान्य भूल: 12 की विभाज्यता 2 और 6 से जाँचना (ये सह-अभाज्य नहीं) — जैसे 18 दोनों से विभाज्य है पर 12 से नहीं।
सामान्य भूल: शेष 0 आने पर चक्र का पहला पद लेना, जबकि चौथा पद लेना चाहिए।

त्वरित पुनरावृत्ति

गुणनखंडों की संख्या: हर अभाज्य घात में 1 जोड़कर गुणा करें।
सह-अभाज्य जोड़े: 12 = 3 × 4, 18 = 2 × 9, 24 = 3 × 8।
इकाई अंक चक्र की लंबाई = 4।

अभ्यास MCQ

575 को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
1. 8
2. 4
3. 5
4. 3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3. 575 = 11 × 52 + 3, अतः शेषफल = 3।
670 को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
1. 1
2. 0
3. 11
4. 10
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 10. 670 = 11 × 60 + 10, अतः शेषफल = 10।
15 और 25 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 85
2. 70
3. 80
4. 75
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 75. म.स.प. (HCF) = 5; ल.स.प. = 15 × 25 ÷ 5 = 75।
20 और 60 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 100
2. 60
3. 40
4. 80
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 60. म.स.प. (HCF) = 20; ल.स.प. = 20 × 60 ÷ 20 = 60।
26 और 91 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 169
2. 182
3. 208
4. 195
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 182. म.स.प. (HCF) = 13; ल.स.प. = 26 × 91 ÷ 13 = 182।
7^59 का इकाई अंक (unit digit) क्या है?
1. 7
2. 9
3. 1
4. 3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3. 7 ke powers ka unit-digit cycle: 7,9,3,1 (cyclicity 4).
88 से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या है:
1. 9988
2. 9944
3. 9999
4. 9856
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9944. Sabse badi 4-digit = 9999.
यदि कोई संख्या 3 और 8 दोनों से विभाज्य है, तो वह अवश्य विभाज्य होगी:
1. 11
2. 24
3. 12
4. 16
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 24. 3 aur 8 co-prime hain (koi common factor nahi except 1).
संख्या 4^61 + 4^62 + 4^63 किससे विभाज्य है?
1. 11
2. 13
3. 21
4. 10
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 21. Common factor 4^61 bahar nikaalo: 4^61 × (1 + 4 + 16) = 4^61 × 21.
3000 में से कम-से-कम कौन-सी संख्या घटाएँ कि वह पूर्ण वर्ग बन जाए?
1. 84
2. 61
3. 81
4. 91
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 84. 54^2 = 2916 aur 55^2 = 3025.
प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का योग है:
1. 190
2. 220
3. 200
4. 210
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 210. Formula: n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210.
यदि 9-अंकीय संख्या 8175x3268, 9 से विभाज्य है, तो x का मान है:
1. 6
2. 2
3. 8
4. 5
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 5. 9 se divisible → digit-sum 9 ka multiple.
गुणनफल 1×2×3×...×10 का इकाई अंक क्या है?
1. 0
2. 5
3. 2
4. 4
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 0. Product me 10 (aur 2×5) present hai → factor of 10 → unit digit hamesha 0.
1 और 50 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?
1. 15
2. 16
3. 14
4. 12
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 15. Primes 1-50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 = 15 primes.
2^31 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
1. 2
2. 1
3. 4
4. 3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3. 2 ke powers mod 5 ka cycle: 2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1 (cyclicity 4).

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नोट्स और प्रश्न Kundali IQ ने अभ्यास हेतु लिखे हैं। ये आधिकारिक प्रश्नपत्र नहीं हैं; पाठ्यक्रम और पैटर्न हेतु सदा नवीनतम आधिकारिक अधिसूचना देखें।