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HCF और LCM

गणित

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सार

महत्तम समापवर्तक (HCF) सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज; शेषफल वाले प्रश्न असल में HCF या LCM के ही प्रश्न होते हैं।

मुख्य बिंदु

HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल (केवल दो संख्याओं के लिए)।
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM; भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।
a, b, c को भाग देकर समान शेष r छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या: HCF(a − r, b − r, c − r)।
a, b, c को भाग देकर समान (अज्ञात) शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या: उनके अंतरों का HCF।
x, y, z से भाग देने पर शेष r छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या: LCM(x, y, z) + r।

व्याख्या

जब शेषफल अलग हों पर (भाजक − शेष) स्थिर k हो: उत्तर = LCM − k।
घंटियों का एक साथ बजना, धावकों का प्रारंभ बिंदु पर मिलना, ट्रैफ़िक लाइटें: ये LCM के प्रश्न हैं।
सबसे बड़े बराबर टुकड़े या सबसे कम बराबर समूह बनाना: ये HCF के प्रश्न हैं।
शेषफल प्रमेय: (a × b) ÷ n का शेष = (a का शेष × b का शेष) ÷ n का शेष।

चरण-दर-चरण

प्रश्न की भाषा से HCF या LCM तय करें।
शेषफल के लिए समायोजन करें।
गणना करें और भाग देकर जाँचें।

उदाहरण

HCF = 12, LCM = 360, एक संख्या = 72 → दूसरी संख्या = 12 × 360 ÷ 72 = 60।
245 और 1029 को भाग देकर प्रत्येक में शेष 5 छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या: HCF(240, 1024) = 16।
12, 15 और 20 से भाग देने पर शेष 4 छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या: LCM 60 + 4 = 64।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: तीन संख्याओं के लिए HCF × LCM = गुणनफल लगाना — यह लागू नहीं होता।
सामान्य भूल: HCF के प्रश्न में शेषफल पहले घटाने के बजाय जोड़ देना।
सामान्य भूल: "सबसे बड़ी संख्या जो भाग दे" (HCF) और "सबसे छोटी संख्या जो विभाज्य हो" (LCM) में भ्रम।

त्वरित पुनरावृत्ति

HCF हमेशा LCM को विभाजित करता है।
समान शेष → पहले घटाएँ, फिर HCF।
घंटियाँ/धावक → LCM।

अभ्यास MCQ

30 और 75 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 150
2. 180
3. 165
4. 135
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 150. म.स.प. (HCF) = 15; ल.स.प. = 30 × 75 ÷ 15 = 150।
36 और 48 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 144
2. 168
3. 156
4. 132
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 144. म.स.प. (HCF) = 12; ल.स.प. = 36 × 48 ÷ 12 = 144।
44 और 66 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 110
2. 176
3. 154
4. 132
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 132. म.स.प. (HCF) = 22; ल.स.प. = 44 × 66 ÷ 22 = 132।
52 और 52 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 156
2. 104
3. 52
4. 0
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 52. म.स.प. (HCF) = 52; ल.स.प. = 52 × 52 ÷ 52 = 52।
60 और 72 का ल.स.प. (LCM) ज्ञात कीजिए।
1. 360
2. 384
3. 348
4. 372
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 360. म.स.प. (HCF) = 12; ल.स.प. = 60 × 72 ÷ 12 = 360।
दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 336 है। यदि एक संख्या 84 हो, तो दूसरी है:
1. 36
2. 96
3. 72
4. 48
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 48. Rule: HCF × LCM = product of two numbers.
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 43, 91 और 183 को विभाजित करने पर प्रत्येक में समान शेष दे।
1. 13
2. 4
3. 7
4. 9
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4. Same remainder wala → differences ka HCF.
वह सबसे छोटी संख्या जो 5,6,7,8 से विभाजित करने पर प्रत्येक में शेष 3 दे:
1. 843
2. 840
3. 837
4. 823
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 843. LCM(5,6,7,8) = 840.
तीन घंटियाँ 9, 12 और 15 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे 8:00 बजे साथ बजें, तो अगली बार साथ कब बजेंगी?
1. 10:00 AM
2. 9:30 AM
3. 12:00 PM
4. 11:00 AM
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 11:00 AM. Saath bajne ka time = LCM(9,12,15).
2^3×3^2×5 और 2^2×3^3×7 का HCF है:
1. 2^2 × 3^3
2. 2^3 × 3^2 × 5
3. 2^2 × 3^2
4. 2^3 × 3^3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2^2 × 3^2. HCF = common prime factors ki lowest power.
दो संख्याएँ 3:4 के अनुपात में हैं और उनका LCM 240 है। छोटी संख्या है:
1. 80
2. 48
3. 36
4. 60
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 60. Numbers = 3k, 4k.
12,15,18 से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या है:
1. 9960
2. 9900
3. 9980
4. 9720
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9900. LCM(12,15,18)=180.
दो सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का LCM 143 है। यदि एक संख्या 11 हो, तो दूसरी है:
1. 33
2. 11
3. 13
4. 12
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 13. Co-prime numbers ka HCF = 1, isliye LCM = product = 143.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसमें 7 जोड़ने पर वह 8,10,12 से विभाज्य हो जाए।
1. 113
2. 120
3. 127
4. 233
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 113. LCM(8,10,12)=120.
दो संख्याओं का गुणनफल 2028 और उनका HCF 13 है। ऐसे जोड़ों की संख्या है:
1. 2
2. 3
3. 4
4. 1
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2. Numbers = 13a, 13b (a,b co-prime).

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