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ऊपर-नीचे और गोल-गोल – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 9 गणित, अध्याय 5। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

इस अध्याय में वृत्तों का अध्ययन है: उनके भाग, सममिति, जीवाएँ, चाप और उनके बनाए कोण। मुख्य परिणाम जीवाओं को केंद्र से उनकी दूरी से, केंद्र पर कोण को वृत्त पर कोण से, और चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों को जोड़ते हैं।

वृत्त के मूल और जीवाएँ

त्रिज्या r, व्यास 2r, जीवा (वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड) और चाप (वृत्त का भाग); व्यास सबसे लंबी जीवा है।
हर व्यास वृत्त की सममिति रेखा है, इसलिए वृत्त की अनंत सममिति रेखाएँ हैं।
एक रेखा पर न स्थित तीन बिंदुओं से ठीक एक वृत्त गुज़रता है; तीन संरेख बिंदुओं से कोई वृत्त नहीं गुज़रता।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, और केंद्र को जीवा के मध्य बिंदु से मिलाने वाली रेखा उस पर लंब होती है।

बराबर जीवाएँ और दूरियाँ

बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं, और केंद्र पर बराबर कोण बनाने वाली जीवाएँ बराबर होती हैं।
बराबर जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं; केंद्र के निकट वाली जीवा लंबी होती है।
केंद्र से d दूरी पर जीवा के लिए: जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²)।

कोण और चक्रीय चतुर्भुज

किसी चाप द्वारा केंद्र पर बनाया कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर बने कोण का दुगुना होता है।
एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं; अर्धवृत्त में कोण 90° होता है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के हर युग्म का योग 180° होता है; बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।

मुख्य शब्द

जीवा: वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड
चाप: वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच का भाग
चक्रीय बिंदु: एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु
चक्रीय चतुर्भुज: ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों

सूत्र

जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²)
केंद्र पर कोण = 2 × वृत्त पर कोण (उसी चाप से)
अर्धवृत्त में कोण = 90°
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण: ∠A + ∠C = 180°

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।2 अंक

मान लीजिए केंद्र O से जीवा AB पर OM लंब है। त्रिभुज OMA और OMB में OA = OB (त्रिज्याएँ), OM उभयनिष्ठ है और ∠OMA = ∠OMB = 90°। RHS सर्वांगसमता से त्रिभुज सर्वांगसम हैं, अतः AM = BM, और OM, AB को समद्विभाजित करता है।

13 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 24 cm लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए।3 अंक

केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः आधी जीवा = 12 cm। त्रिज्या के साथ बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस से: d² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, अतः d = 5 cm।

सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।5 अंक

प्रमेय: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का योग 180° होता है। उपपत्ति: मान लीजिए ABCD केंद्र O वाला चक्रीय चतुर्भुज है। OB और OD मिलाएँ। चाप BCD केंद्र पर ∠BOD (मान लें x) और शेष वृत्त के बिंदु A पर ∠BAD बनाता है, अतः ∠BAD = x/2। चाप BAD केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण ∠BOD = 360° − x और C पर ∠BCD बनाता है, अतः ∠BCD = (360° − x)/2 = 180° − x/2। जोड़ने पर ∠BAD + ∠BCD = x/2 + 180° − x/2 = 180°। इसी प्रकार ∠ABC + ∠ADC = 360° − 180° = 180°, क्योंकि चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है। अतः सम्मुख कोण संपूरक हैं।

त्वरित पुनरावृत्ति

केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
बराबर जीवाएँ ↔ बराबर दूरियाँ ↔ केंद्र पर बराबर कोण।
केंद्रीय कोण = 2 × परिधि कोण; अर्धवृत्त का कोण = 90°।
चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180°।

परीक्षा सुझाव

जीवा प्रश्नों में केंद्र से लंब डालें; इससे पाइथागोरस हेतु समकोण त्रिभुज बनता है।
पहले चाप चिह्नित करें, फिर पहचानें कि कौन-सा कोण केंद्र पर है और कौन-सा वृत्त पर।

अभ्यास MCQ

वृत्त की सबसे लंबी जीवा है
1. त्रिज्या
2. चाप
3. व्यास
4. स्पर्श रेखा
उत्तर देखें
उत्तर: (c) व्यास. यह केंद्र से होकर जाती है।
अर्धवृत्त में कोण होता है
1. 45°
2. 60°
3. 90°
4. 180°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 90°. चाप अर्धवृत्त है, अतः कोण 180° का आधा है।
तीन असंरेख बिंदुओं से कितने वृत्त गुज़र सकते हैं
1. कोई नहीं
2. अनंत
3. दो
4. ठीक एक
उत्तर देखें
उत्तर: (d) ठीक एक. उनके लंब समद्विभाजक एक केंद्र पर मिलते हैं।
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र से 3 cm दूर है। उसकी लंबाई है
1. 4 cm
2. 6 cm
3. 8 cm
4. 10 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 8 cm. 2√(25 − 9) = 2 × 4 = 8 cm।
एक चाप केंद्र पर 100° बनाता है। वृत्त के शेष भाग के बिंदु पर वह कोण बनाएगा
1. 80°
2. 100°
3. 200°
4. 50°
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 50°. यह केंद्रीय कोण का आधा है।
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70° है। तब ∠C है
1. 70°
2. 90°
3. 110°
4. 20°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 110°. सम्मुख कोणों का योग 180° है।
दो जीवाएँ AB और CD बराबर हैं। कौन-सा कथन अवश्य सत्य है
1. वे समांतर हैं
2. वे व्यास हैं
3. वे केंद्र पर कटती हैं
4. वे केंद्र से समदूरस्थ हैं
उत्तर देखें
उत्तर: (d) वे केंद्र से समदूरस्थ हैं. बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं।
चक्रीय चतुर्भुज का एक बहिष्कोण 105° है। अंतः सम्मुख कोण है
1. 105°
2. 75°
3. 180°
4. 52.5°
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 105°. बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।

सभी अध्याय: कक्षा 9 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।