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स्थान का मापन: परिमाप और क्षेत्रफल – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 9 गणित, अध्याय 6। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

परिमाप आकृति के चारों ओर की लंबाई है और क्षेत्रफल उसके अंदर का स्थान। हीरोन का सूत्र तीनों भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है।

सामान्य आकृतियाँ

आयत: P = 2(l + b), A = l × b। वर्ग: P = 4a, A = a²।
त्रिभुज: A = ½ × आधार × ऊँचाई। समांतर चतुर्भुज: A = आधार × ऊँचाई।
वृत्त: C = 2πr, A = πr²।

हीरोन का सूत्र

s = (a + b + c)/2 (अर्धपरिमाप)।
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]।
समबाहु त्रिभुज: A = (√3/4)a²।

विभाजन द्वारा चतुर्भुज

चतुर्भुज को विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटकर क्षेत्रफल जोड़ें।
समचतुर्भुज: A = ½ d₁ d₂। समलंब: A = ½(a + b)h।

मुख्य शब्द

परिमाप: सीमा की कुल लंबाई
क्षेत्रफल: घेरे गए पृष्ठ की मात्रा
अर्धपरिमाप: त्रिभुज के परिमाप का आधा

सूत्र

हीरोन: A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
समबाहु: A = (√3/4)a²
समलंब: A = ½(a + b)h

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

6 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।2 अंक

क्षेत्रफल = (√3/4) × 6² = 9√3 ≈ 15.59 cm²।

हीरोन सूत्र से 13 cm, 14 cm और 15 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।3 अंक

s = (13 + 14 + 15)/2 = 21। क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 cm²।

एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 120 m, 80 m और 50 m हैं। 3 m का गेट छोड़कर ₹20 प्रति मीटर से बाड़ लगाने का खर्च और ₹1.50 प्रति m² से घास लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।5 अंक

परिमाप = 250 m; बाड़ = 250 − 3 = 247 m, खर्च = 247 × 20 = ₹4940। s = 125। क्षेत्रफल = √[125 × 5 × 45 × 75] = √2,109,375 = 375√15 ≈ 1452.4 m²। घास का खर्च ≈ 1452.4 × 1.50 ≈ ₹2178.6।

त्वरित पुनरावृत्ति

s = a + b + c का आधा।
जटिल आकृतियों को त्रिभुजों व आयतों में बाँटें।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = विकर्णों के गुणनफल का आधा।

परीक्षा सुझाव

इकाइयाँ समान रखें; क्षेत्रफल की इकाई वर्ग में (cm², m²)।
ऊँचाई न दी हो तो हीरोन सूत्र लगाएँ।

अभ्यास MCQ

8 cm × 5 cm आयत का क्षेत्रफल है
1. 13 cm²
2. 26 cm²
3. 40 cm²
4. 80 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 40 cm². 8 × 5 = 40।
3, 4, 5 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्धपरिमाप है
1. 12 cm
2. 5 cm
3. 6 cm
4. 7.5 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6 cm. 12/2 = 6।
9 cm भुजा वाले वर्ग का परिमाप है
1. 18 cm
2. 36 cm
3. 81 cm
4. 27 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 36 cm. 4 × 9।
3, 4, 5 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है
1. 12 cm²
2. 6 cm²
3. 10 cm²
4. 7.5 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 6 cm². √(6 × 3 × 2 × 1) = 6।
10 cm और 8 cm विकर्णों वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है
1. 80 cm²
2. 18 cm²
3. 40 cm²
4. 20 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 40 cm². ½ × 10 × 8 = 40।
4 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है
1. 8√3 cm²
2. 4√3 cm²
3. 16 cm²
4. 2√3 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4√3 cm². (√3/4) × 16।
13, 14, 15 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है
1. 105 cm²
2. 96 cm²
3. 72 cm²
4. 84 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 84 cm². s = 21; √(21 × 8 × 7 × 6) = 84।
त्रिभुज का परिमाप 32 cm है और दो भुजाएँ 8 cm व 11 cm हैं। क्षेत्रफल है
1. 8√30 cm²
2. 16√30 cm²
3. 44 cm²
4. 4√30 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 8√30 cm². तीसरी भुजा 13, s = 16: √1920 = 8√30।

सभी अध्याय: कक्षा 9 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।