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बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 9 गणित, अध्याय 4। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

बीजीय सर्वसमिकाएँ वे समीकरण हैं जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं। इनसे प्रसार, गुणनखंडन और तेज़ गणना आसान होती है।

मूल सर्वसमिकाएँ

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²।
a² − b² = (a + b)(a − b)।
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab।

तीन पद और घन सर्वसमिकाएँ

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca।
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)।
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)।

उपयोग

मानसिक गणना: 102² = (100 + 2)² = 10404; 99 × 101 = 100² − 1 = 9999।
गुणनखंडन: x² − 9 = (x + 3)(x − 3); 8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² − 6x + 9)।
यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।

मुख्य शब्द

सर्वसमिका: चरों के सभी मानों के लिए सत्य समीकरण
प्रसार: गुणनफल को पदों के योग के रूप में लिखना
गुणनखंडन: व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखना

सूत्र

(a + b)² = a² + 2ab + b²
a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

सर्वसमिका से 103 × 97 का मान ज्ञात कीजिए।2 अंक

(100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991।

4x² + 12xy + 9y² का गुणनखंड कीजिए।3 अंक

यह (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = (2x + 3y)² है।

यदि x + y = 12 और xy = 27, तो x² + y² और x³ + y³ ज्ञात कीजिए। x और y के वास्तविक मानों से जाँच भी कीजिए।5 अंक

x² + y² = (x + y)² − 2xy = 144 − 54 = 90। x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 1728 − 3 × 27 × 12 = 1728 − 972 = 756। जाँच: x और y, 9 और 3 हैं; 81 + 9 = 90 ✓ और 729 + 27 = 756 ✓।

त्वरित पुनरावृत्ति

योग के वर्ग में मध्य पद 2ab।
वर्गों का अंतर (a + b)(a − b)।
a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc।

परीक्षा सुझाव

गुणनखंडन में पहले a² − b² ढूँढें।
a = 1, b = 2 जैसे सरल मान रखकर सर्वसमिका जाँचें।

अभ्यास MCQ

(x + 3)² बराबर है
1. x² + 9
2. x² + 6x + 9
3. x² + 3x + 9
4. x² − 6x + 9
उत्तर देखें
उत्तर: (b) x² + 6x + 9. a² + 2ab + b²।
51² − 49² बराबर है
1. 100
2. 4
3. 200
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 200. (51 + 49)(51 − 49) = 200।
x² − 16 के गुणनखंड हैं
1. (x − 4)²
2. (x + 4)(x − 4)
3. (x − 8)(x + 2)
4. (x + 16)(x − 1)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (x + 4)(x − 4). वर्गों का अंतर।
103 × 97 बराबर है
1. 9981
2. 9999
3. 10009
4. 9991
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 9991. 10000 − 9 = 9991।
(x + 2)(x + 5) बराबर है
1. x² + 3x + 10
2. x² + 10x + 7
3. x² + 7x + 10
4. x² + 7x + 7
उत्तर देखें
उत्तर: (c) x² + 7x + 10. x² + 7x + 10।
यदि x + 1/x = 4, तो x² + 1/x² =
1. 14
2. 16
3. 18
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 14. 16 − 2 = 14।
घन किए बिना (−12)³ + 7³ + 5³ बराबर है
1. −1260
2. 1260
3. 0
4. −420
उत्तर देखें
उत्तर: (a) −1260. योग 0, अतः मान = 3abc = −1260।
27x³ − 8 के गुणनखंड हैं
1. (3x + 2)(9x² − 6x + 4)
2. (3x − 2)³
3. (3x − 2)(9x² + 6x + 4)
4. (9x − 4)(3x + 2)
उत्तर देखें
उत्तर: (c) (3x − 2)(9x² + 6x + 4). a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)।

सभी अध्याय: कक्षा 9 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।