संख्याओं का संसार – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

अध्याय का सार

वास्तविक संख्याओं में परिमेय (p/q) और √2, π जैसी अपरिमेय संख्याएँ आती हैं। हर वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर एक बिंदु है, और दशमलव प्रसार इन्हें अलग पहचानता है।

संख्याओं के प्रकार

• प्राकृत N = 1, 2, 3, …; पूर्ण W = 0, 1, 2, …; पूर्णांक Z = …, −2, −1, 0, 1, 2, …।
• परिमेय: p/q, जहाँ p, q पूर्णांक और q ≠ 0।
• अपरिमेय: p/q रूप में नहीं लिखी जा सकती (√2, √3, π)।

दशमलव प्रसार

• परिमेय संख्याओं का दशमलव सांत (1/4 = 0.25) या असांत आवर्ती (1/3 = 0.333…) होता है।
• अपरिमेय संख्याओं का दशमलव असांत अनावर्ती होता है।
• 0.333… = 1/3 और 0.999… = 1।

घातांक नियम और करणी

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1।
• a^(1/n) = ⁿ√a; a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ।
• 1/√a को √a/√a से, 1/(√a + √b) को (√a − √b) से गुणा कर परिमेयीकरण करें।

मुख्य शब्द

परिमेय संख्या

p/q रूप की संख्या, q ≠ 0

अपरिमेय संख्या

असांत अनावर्ती दशमलव वाली संख्या

परिमेयीकरण

हर से मूल हटाना

सूत्र

• (√a + √b)(√a − √b) = a − b
• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

त्वरित पुनरावृत्ति

• हर पूर्णांक परिमेय है।
• आवर्ती दशमलव → परिमेय।
• वास्तविक संख्याएँ = परिमेय + अपरिमेय।

परीक्षा सुझाव

• किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
• π = 22/7 केवल सन्निकट मान है; π अपरिमेय है।

अभ्यास MCQ

1. इनमें अपरिमेय कौन है?

   1. 0.75
   2. √9
   3. √3
   4. 2/5
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) √3. 3 पूर्ण वर्ग नहीं।

2. 1/8 का दशमलव रूप है

   1. 0.125
   2. 0.8
   3. 0.0125
   4. 0.18
   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) 0.125. 1 ÷ 8 = 0.125।

3. हर पूर्णांक होता है

   1. प्राकृत संख्या
   2. परिमेय संख्या
   3. पूर्ण संख्या
   4. अपरिमेय संख्या
   उत्तर देखें

   उत्तर: (b) परिमेय संख्या. n = n/1।

4. 0.666… का p/q रूप है

   1. 1/6
   2. 3/5
   3. 6/10
   4. 2/3
   उत्तर देखें

   उत्तर: (d) 2/3. 10x − x = 6 ⇒ x = 2/3।

5. 8^(2/3) का मान है

   1. 16
   2. 4
   3. 2
   4. 6
   उत्तर देखें

   उत्तर: (b) 4. (∛8)² = 4।

6. 1/√5 का परिमेयीकरण है

   1. √5
   2. 5/√5
   3. √5/5
   4. 1/5
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) √5/5. √5/√5 से गुणा।

7. 1/(√3 + √2) बराबर है

   1. √3 − √2
   2. √3 + √2
   3. 1
   4. (√3 − √2)/5
   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) √3 − √2. (√3 − √2) से गुणा: हर 3 − 2 = 1।

8. 0.4777… (7 आवर्ती) का भिन्न रूप है

   1. 47/99
   2. 47/90
   3. 43/90
   4. 43/99
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) 43/90. 100x − 10x = 43 ⇒ x = 43/90।