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पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 12। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

खिलौना (अर्धगोले पर शंकु) या कैप्सूल (बेलन के दोनों ओर अर्धगोले) जैसे ठोस मूल ठोसों से बनते हैं। पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल दिखने वाले पृष्ठ जोड़ें; आयतन सीधे जुड़ते हैं।

मूल ठोस

घनाभ: V = lbh; TSA = 2(lb + bh + hl)।
बेलन: V = πr²h; CSA = 2πrh।
शंकु: V = ⅓πr²h; CSA = πrl, l = √(r² + h²)।
गोला: V = (4/3)πr³; SA = 4πr²। अर्धगोला: V = (2/3)πr³; CSA = 2πr²।

संयोजन

संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = केवल बाहरी (दिखने वाले) पृष्ठों का योग।
संयुक्त ठोस का आयतन = भागों के आयतनों का योग।
पिघलाकर नया ठोस बनाने पर आयतन वही रहता है।

मुख्य शब्द

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: केवल वक्र भाग का क्षेत्रफल
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: वक्र भाग + समतल फलक
तिर्यक ऊँचाई: शंकु की l = √(r² + h²)

सूत्र

शंकु V = ⅓πr²h, CSA = πrl
गोला V = (4/3)πr³, SA = 4πr²
अर्धगोला V = (2/3)πr³, TSA = 3πr²
बेलन V = πr²h, TSA = 2πr(r + h)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

64 cm³ आयतन वाले दो घनों को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ा गया। बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।2 अंक

भुजा = 4 cm। घनाभ 8 × 4 × 4 है। पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(8×4 + 4×4 + 4×8) = 2(32 + 16 + 32) = 160 cm²।

एक ठोस खिलौना 3.5 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर उसी त्रिज्या के शंकु से बना है, कुल ऊँचाई 15.5 cm है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।3 अंक

शंकु की ऊँचाई = 15.5 − 3.5 = 12 cm; तिर्यक ऊँचाई l = √(12² + 3.5²) = 12.5 cm। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + 2πr² = (22/7) × 3.5 × 12.5 + 2 × (22/7) × 12.25 = 137.5 + 77 = 214.5 cm²।

4.2 cm त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 6 cm त्रिज्या का बेलन बनाया गया। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। कौन-सी राशि समान रहती है और क्यों, यह भी बताइए।5 अंक

आयतन समान रहता है क्योंकि वही धातु नए आकार में ढाली जाती है (कोई धातु नष्ट नहीं होती)। (4/3)π(4.2)³ = π(6)²h, अतः h = (4/3 × 74.088)/36 = 98.784/36 = 2.744 cm।

त्वरित पुनरावृत्ति

क्षेत्रफल में दिखने वाले पृष्ठ, आयतन में सभी भाग जुड़ते हैं।
पिघलाने पर आयतन संरक्षित रहता है।
शंकु के लिए l² = r² + h²।

परीक्षा सुझाव

जहाँ दो ठोस जुड़ते हैं वहाँ का छिपा वृत्ताकार फलक न जोड़ें।
पिघलाने वाले प्रश्नों में आयतन बराबर करें और इकाइयाँ समान रखें।

अभ्यास MCQ

4 cm भुजा वाले घन का आयतन है
1. 16 cm³
2. 64 cm³
3. 48 cm³
4. 96 cm³
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 64 cm³. 4³ = 64 cm³।
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है
1. πr²
2. 2πr²
3. 3πr²
4. 4πr²
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2πr². गोले के 4πr² का आधा।
r = 6 cm, h = 8 cm वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई है
1. 14 cm
2. 10 cm
3. 7 cm
4. 12 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 10 cm. √(36 + 64) = 10 cm।
5 cm भुजा के दो घन सिरे से सिरा जोड़े गए। बने घनाभ का TSA है
1. 250 cm²
2. 300 cm²
3. 200 cm²
4. 150 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 250 cm². 10 × 5 × 5: 2(50 + 25 + 50) = 250 cm²।
समान आधार और ऊँचाई वाले शंकु और बेलन के आयतनों का अनुपात है
1. 1 : 3
2. 3 : 1
3. 1 : 2
4. 2 : 3
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1 : 3. ⅓πr²h : πr²h।
3 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन (π में) है
1. 36π cm³
2. 27π cm³
3. 12π cm³
4. 108π cm³
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 36π cm³. (4/3)π × 27 = 36π।
6 cm त्रिज्या का धातु गोला पिघलाकर 0.2 cm त्रिज्या का तार बनाया गया। तार की लंबाई है
1. 36 m
2. 7.2 m
3. 72 m
4. 720 m
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 72 m. 288π = 0.04π h ⇒ h = 7200 cm = 72 m।
एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर उसी त्रिज्या का शंकु है; कुल ऊँचाई 15.5 cm। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है
1. 291.5 cm²
2. 154 cm²
3. 77 cm²
4. 214.5 cm²
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 214.5 cm². शंकु h = 12, l = 12.5; πrl + 2πr² = 137.5 + 77 = 214.5 cm²।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।