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त्रिकोणमिति

संख्यात्मक अभिरुचि

इन परीक्षाओं के लिए उपयोगी: SSC CGL

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सार

मानक कोणों के मान, तीन सर्वसमिकाएँ और ऊँचाई के लिए tan अनुपात से त्रिकोणमिति के लगभग सभी प्रश्न हल हो जाते हैं।

मुख्य बिंदु

मानक मान: sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2; tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।
sin²θ + cos²θ = 1; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1।
sin(90° − θ) = cos θ; tan(90° − θ) = cot θ।
ऊँचाई: tan θ = ऊँचाई ÷ क्षैतिज दूरी।
भूमि से उन्नयन कोण, शीर्ष से अवनमन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)।

व्याख्या

यदि sin θ = p/h हो, तो त्रिभुज बनाएँ: आधार = √(h² − p²)।
θ + φ = 90° के लिए sin θ = cos φ और tan θ × tan φ = 1।
दो कोणों वाले ऊँचाई के प्रश्न: प्रत्येक स्थिति के लिए tan लिखें और दूरियाँ घटाएँ।
a sin θ + b cos θ का अधिकतम मान √(a² + b²) होता है।

चरण-दर-चरण

त्रिभुज बनाएँ।
अनुपात या सर्वसमिका चुनें।
मानक मान रखें।

उदाहरण

छाया 20 m, सूर्य का उन्नयन कोण 45° → ऊँचाई = 20 × tan 45° = 20 m।
कोण 60°, छाया 10 m → ऊँचाई = 10√3 ≈ 17.32 m।
sin θ = 3/5 → cos θ = 4/5, tan θ = 3/4।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: ऊँचाई और क्षैतिज दूरी के लिए tan के बजाय sin लेना।
सामान्य भूल: उन्नयन कोण और शीर्ष पर बने कोण में भ्रम।
सामान्य भूल: यह भूलना कि sin²θ का अर्थ (sin θ)² है।

त्वरित पुनरावृत्ति

sin² + cos² = 1।
tan = ऊँचाई/आधार।
sin(90° − θ) = cos θ।

अभ्यास MCQ

sin 30 डिग्री + cos 60 डिग्री का मान है:
1. 1
2. 0
3. 1/2
4. 2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1. sin30 = 1/2, cos60 = 1/2.
यदि sin θ = 3/5 हो, तो cos θ है (θ न्यून कोण):
1. 5/3
2. 4/5
3. 5/4
4. 3/4
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4/5. sin^2+cos^2=1 → cos^2 = 1-9/25 = 16/25 → cos = 4/5.
tan 45 डिग्री × cos 0 डिग्री का मान है:
1. 0
2. 2
3. 1/2
4. 1
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 1. tan45 = 1, cos0 = 1.
यदि sec θ = 13/12 हो, तो tan θ का मान है:
1. 5/12
2. 12/5
3. 13/5
4. 5/13
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5/12. 1+tan^2 = sec^2 → tan^2 = (13/12)^2 - 1 = 169/144 - 144/144 = 25/144 → tan = 5/12.
(1 - cos^2 θ) / cos^2 θ का मान है:
1. tan^2 θ
2. sin^2 θ
3. sec^2 θ
4. cot^2 θ
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) tan^2 θ. 1-cos^2θ = sin^2θ.
एक खंभा अपनी ऊँचाई के बराबर छाया बनाता है। सूर्य का उन्नयन कोण है:
1. 45 degrees
2. 30 degrees
3. 60 degrees
4. 90 degrees
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 45 degrees. tan θ = height/shadow = h/h = 1 → θ = 45 degrees.
cos 90 डिग्री + sin 90 डिग्री का मान है:
1. 1/2
2. 1
3. 0
4. 2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1. cos90 = 0, sin90 = 1.
यदि tan θ = 1 हो, तो θ (न्यून) बराबर है:
1. 60 degrees
2. 90 degrees
3. 45 degrees
4. 30 degrees
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 45 degrees. tan45 = 1, isliye θ = 45 degrees.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30 मीटर दूर बिंदु से 60 डिग्री है। मीनार की ऊँचाई है:
1. 15√3 m
2. 60 m
3. 30√3 m
4. 30 m
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 30√3 m. tan60 = height/30 → √3 = h/30 → h = 30√3 m.
sin^2 30 + cos^2 30 का मान है:
1. 1
2. 0
3. 1/2
4. √3/2
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1. Identity sin^2θ + cos^2θ = 1 for any θ.

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