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क्षेत्रमिति

संख्यात्मक अभिरुचि

इन परीक्षाओं के लिए उपयोगी: SSC CGL

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सार

क्षेत्रमिति सूत्रों की याद और इकाइयों की सावधानी है: क्षेत्रफल वर्ग इकाई में और आयतन घन इकाई में।

मुख्य बिंदु

वृत्त: क्षेत्रफल πr², परिधि 2πr; आयत: lb; वर्ग: a² या d²/2।
त्रिभुज: ½ × आधार × ऊँचाई; समबाहु त्रिभुज: (√3/4)a²; हीरोन: √[s(s−a)(s−b)(s−c)]।
बेलन: आयतन πr²h, वक्र पृष्ठ 2πrh; शंकु: ⅓πr²h, वक्र पृष्ठ πrl।
गोला: आयतन (4/3)πr³, पृष्ठ 4πr²; अर्धगोले का कुल पृष्ठ 3πr²।
घनाभ: आयतन lbh, कुल पृष्ठ 2(lb + bh + hl); विकर्ण √(l² + b² + h²)।

व्याख्या

किसी ठोस को पिघलाकर नया बनाने पर आयतन समान रहता है।
हर माप k गुना करने पर क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना हो जाता है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)।
π = 22/7 को सरल करने के लिए r को 7 का गुणज चुनें।

चरण-दर-चरण

आकार और पूछी गई राशि पहचानें।
सूत्र लिखें।
एक इकाई में मान रखकर सरल करें।

उदाहरण

r = 7 cm, h = 10 cm वाला बेलन: आयतन = 22/7 × 49 × 10 = 1,540 cm³।
10 cm विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल 10²/2 = 50 cm²।
21 cm त्रिज्या का गोला: आयतन = 4/3 × 22/7 × 9,261 = 38,808 cm³।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: एक ही सूत्र में cm और m मिलाना।
सामान्य भूल: वक्र पृष्ठ पूछे जाने पर कुल पृष्ठ लेना (या उल्टा)।
सामान्य भूल: यह भूलना कि पिघलाने पर आयतन समान रहता है, पृष्ठ नहीं।

त्वरित पुनरावृत्ति

क्षेत्रफल k², आयतन k³।
वर्ग के लिए d²/2।
पिघलाना → बराबर आयतन।

अभ्यास MCQ

एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। इसकी त्रिज्या (pi=22/7) है:
1. 10.5 cm
2. 7 cm
3. 14 cm
4. 3.5 cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 7 cm. Area = pi r^2 = 154 → (22/7)r^2 = 154 → r^2 = 154×7/22 = 49 → r = 7 cm.
एक घन का आयतन 216 घन सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
1. 216 sq cm
2. 196 sq cm
3. 144 sq cm
4. 256 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 216 sq cm. Volume = a^3 = 216 → a = 6 cm.
एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल है:
1. 144 sq cm
2. 100 sq cm
3. 200 sq cm
4. 50 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 100 sq cm. Diagonal = a√2 = 10√2 → a = 10.
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (pi=22/7) है:
1. 440 sq cm
2. 220 sq cm
3. 880 sq cm
4. 660 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 440 sq cm. CSA = 2 pi r h = 2×(22/7)×7×10 = 2×22×10 = 440 sq cm.
3 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन (pi=22/7) लगभग है:
1. 36 cubic cm
2. 113.14 cubic cm
3. 88 cubic cm
4. 150 cubic cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 113.14 cubic cm. Volume = (4/3) pi r^3 = (4/3)×(22/7)×27 = (4×22×27)/(21) = 2376/21 = 113.14 cubic cm.
एक आयत का परिमाप 60 सेमी और लंबाई 18 सेमी है। इसका क्षेत्रफल है:
1. 216 sq cm
2. 240 sq cm
3. 180 sq cm
4. 200 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 216 sq cm. Perimeter = 2(l+b) = 60 → l+b = 30 → b = 12.
6 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
1. 18√3 sq cm
2. 6√3 sq cm
3. 9√3 sq cm
4. 36√3 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 9√3 sq cm. Area = (√3/4)a^2 = (√3/4)×36 = 9√3 sq cm.
एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (slant height) है:
1. 5 cm
2. 7 cm
3. 6 cm
4. 4.5 cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5 cm. Slant l = sqrt(r^2+h^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5 cm.
यदि गोले की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो आयतन कितना गुना हो जाएगा?
1. 4 times
2. 2 times
3. 6 times
4. 8 times
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 8 times. Volume proportional to r^3.
7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (pi=22/7) है:
1. 462 sq cm
2. 308 sq cm
3. 154 sq cm
4. 616 sq cm
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 462 sq cm. Hemisphere TSA = 3 pi r^2 = 3×(22/7)×49 = 3×22×7 = 462 sq cm.

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