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चतुर्भुज – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 9 गणित, अध्याय 12। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

चतुर्भुज की चार भुजाएँ होती हैं और कोणों का योग 360° होता है। समांतर चतुर्भुज और उसके विशेष प्रकार (आयत, समचतुर्भुज, वर्ग) के भुजा, कोण और विकर्ण संबंधी गुण उपयोगी हैं।

कोण योग और प्रकार

अंतः कोणों का योग = 360°।
समलंब: एक जोड़ी समांतर भुजाएँ; पतंग: आसन्न बराबर भुजाओं के दो जोड़े।
समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़े समांतर।

समांतर चतुर्भुज के गुण

सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; एक विकर्ण इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है।
आसन्न कोण संपूरक (योग 180°)।

विशेष समांतर चतुर्भुज

आयत: सभी कोण 90°, विकर्ण बराबर।
समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ बराबर, विकर्ण 90° पर समद्विभाजित।
वर्ग: सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90°, विकर्ण बराबर व लंबवत।
मध्य-बिंदु प्रमेय: त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा।

मुख्य शब्द

समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़े समांतर वाला चतुर्भुज
समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ बराबर वाला समांतर चतुर्भुज
मध्य-बिंदु प्रमेय: दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं का रेखाखंड तीसरी के समांतर व आधा

सूत्र

चतुर्भुज के कोणों का योग = 360°
समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180°

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। कोण ज्ञात कीजिए।2 अंक

योग = 360°, अतः 30x = 360°, x = 12°। कोण: 36°, 60°, 108°, 156°।

दिखाइए कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।3 अंक

समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है, अतः विकर्ण O पर समद्विभाजित होते हैं। △AOB और △COB में: AB = CB (समचतुर्भुज की भुजाएँ), AO = CO, OB उभयनिष्ठ, अतः सर्वांगसम (SSS)। इसलिए ∠AOB = ∠COB, और रैखिक युग्म होने से प्रत्येक 90° है।

मध्य-बिंदु प्रमेय लिखिए और सिद्ध कीजिए।5 अंक

कथन: त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है। प्रमाण: △ABC में E और F, AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। EF को D तक बढ़ाएँ कि EF = FD, और CD मिलाएँ। △AEF और △CDF में: AF = CF, EF = DF, ∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख), अतः सर्वांगसम (SAS)। इसलिए AE = CD और ∠EAF = ∠DCF, जिससे CD ∥ AB। अतः BE = AE = CD और BE ∥ CD, इसलिए EBCD समांतर चतुर्भुज है। अतः ED ∥ BC और ED = BC; चूँकि EF = ½ED, EF ∥ BC और EF = ½BC।

त्वरित पुनरावृत्ति

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत।
मध्य-बिंदु रेखाखंड = तीसरी भुजा का आधा।

परीक्षा सुझाव

समांतर चतुर्भुज सिद्ध करने को एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ बराबर व समांतर दिखाएँ।
हर वर्ग समचतुर्भुज और आयत है, पर उल्टा नहीं।

अभ्यास MCQ

चतुर्भुज के कोणों का योग है
1. 180°
2. 270°
3. 360°
4. 540°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 360°. दो त्रिभुज: 2 × 180°।
आयत के विकर्ण होते हैं
1. बराबर
2. लंबवत
3. असमान
4. समांतर
उत्तर देखें
उत्तर: (a) बराबर. वे बराबर होते हैं।
सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90° वाला चतुर्भुज है
1. वर्ग
2. आयत
3. समचतुर्भुज
4. पतंग
उत्तर देखें
उत्तर: (a) वर्ग. वर्ग।
समांतर चतुर्भुज का एक कोण 70° है। उसका आसन्न कोण है
1. 70°
2. 90°
3. 110°
4. 20°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 110°. आसन्न कोणों का योग 180°।
चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90°, 75° हैं। चौथा है
1. 120°
2. 90°
3. 100°
4. 110°
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 120°. 360 − 240।
समचतुर्भुज के विकर्ण मिलते हैं
1. 45° पर
2. 60° पर
3. 90° पर
4. 120° पर
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 90° पर. वे लंबवत हैं।
△ABC में D, E क्रमशः AB, AC के मध्य-बिंदु हैं। BC = 14 cm हो तो DE =
1. 7 cm
2. 14 cm
3. 28 cm
4. 3.5 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 7 cm. मध्य-बिंदु प्रमेय।
चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 में हैं। सबसे छोटा कोण है
1. 45°
2. 30°
3. 36°
4. 60°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 36°. 30 भाग = 360°, 1 भाग = 12°, सबसे छोटा 36°।

सभी अध्याय: कक्षा 9 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।