कथन और उनके विलोम – कक्षा 9 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

अध्याय का सार

गणित स्पष्ट कथनों (प्रस्तावों) पर बनता है जो या तो सत्य होते हैं या असत्य। "यदि–तो" कथन को उलटने से उसका विलोम मिलता है, जो सत्य हो भी सकता है और नहीं भी।

प्रस्ताव

• प्रस्ताव वह कथन है जो या तो सत्य हो या असत्य, दोनों नहीं।
• "यदि P, तो Q": P परिकल्पना, Q निष्कर्ष।
• प्रति-उदाहरण वह एक स्थिति है जो कथन को असत्य दिखाती है।

विलोम और उपपत्ति

• "यदि P तो Q" का विलोम "यदि Q तो P" है।
• उदाहरण: "यदि त्रिभुज समबाहु है तो उसके कोण बराबर हैं" — विलोम भी सत्य।
• उदाहरण: "यदि संख्या 4 से विभाज्य है तो सम है" — सत्य; विलोम "सम है तो 4 से विभाज्य" असत्य (6)।
• प्रमेय अभिगृहीतों और पिछले परिणामों से तार्किक चरणों द्वारा सिद्ध होते हैं।

मुख्य शब्द

अभिगृहीत

बिना उपपत्ति के स्वीकार किया गया मूल कथन

प्रमेय

तर्क से सिद्ध किया गया कथन

प्रति-उदाहरण

सामान्य कथन को असत्य दिखाने वाला उदाहरण

विलोम

परिकल्पना और निष्कर्ष की अदला-बदली वाला कथन

सूत्र

• "P ⇒ Q" का विलोम "Q ⇒ P"

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

त्वरित पुनरावृत्ति

• प्रस्ताव या तो सत्य या असत्य।
• विलोम में P और Q बदलते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम दोनों सत्य हैं।

परीक्षा सुझाव

• कथन असत्य दिखाने को एक प्रति-उदाहरण पर्याप्त है; केवल उदाहरण कभी सिद्ध नहीं करते।
• "क्या विलोम सत्य है?" में उपपत्ति या प्रति-उदाहरण चाहिए।

अभ्यास MCQ

1. इनमें प्रस्ताव कौन है?

   1. दरवाज़ा बंद करो।
   2. क्या बारिश हो रही है?
   3. 7 एक अभाज्य संख्या है।
   4. कितना सुंदर दिन है!
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) 7 एक अभाज्य संख्या है।. यह सत्य या असत्य होने वाला कथन है।

2. "यदि P, तो Q" का विलोम है

   1. यदि P नहीं, तो Q नहीं
   2. यदि Q, तो P
   3. P और Q
   4. यदि P, तो Q नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: (b) यदि Q, तो P. परिकल्पना व निष्कर्ष बदलें।

3. बिना उपपत्ति स्वीकार कथन कहलाता है

   1. प्रमेय
   2. उपप्रमेय
   3. विलोम
   4. अभिगृहीत
   उत्तर देखें

   उत्तर: (d) अभिगृहीत. अभिगृहीत।

4. "सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं" का प्रति-उदाहरण है

   1. 3
   2. 9
   3. 2
   4. 11
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) 2. 2 अभाज्य और सम है।

5. "यदि संख्या 6 से विभाज्य है तो 3 से विभाज्य है।" इसका विलोम है

   1. सत्य
   2. असत्य
   3. कथन नहीं
   4. सदा सत्य
   उत्तर देखें

   उत्तर: (b) असत्य. 9, 3 से विभाज्य है पर 6 से नहीं।

6. "यदि दो कोण शीर्षाभिमुख हैं, तो वे बराबर हैं" में निष्कर्ष है

   1. दो कोण शीर्षाभिमुख हैं
   2. यदि
   3. कोण
   4. वे बराबर हैं
   उत्तर देखें

   उत्तर: (d) वे बराबर हैं. "तो" के बाद का भाग।

7. पाइथागोरस प्रमेय का विलोम कहता है

   1. समकोण त्रिभुज में H² = P² + B²
   2. सभी त्रिभुज समकोण हैं
   3. यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो के वर्गों के योग के बराबर हो तो उसके सामने का कोण 90° है
   4. सदा a² + b² > c²
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो के वर्गों के योग के बराबर हो तो उसके सामने का कोण 90° है. यह भुजाओं से समकोण पहचानता है।

8. किस कथन का विलोम भी सत्य है?

   1. यदि चतुर्भुज वर्ग है तो आयत है
   2. यदि x = 2 तो x² = 4
   3. यदि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं तो तीनों कोण बराबर हैं
   4. यदि n, 10 से विभाज्य है तो n सम है
   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) यदि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं तो तीनों कोण बराबर हैं. समबाहु ⇔ समकोणिक।