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बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय – कक्षा 8 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 8 गणित, अध्याय 9। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है। बौधायन ने यह पाइथागोरस से बहुत पहले शुल्ब सूत्रों में बताया।

प्रमेय

c² = a² + b², जहाँ c कर्ण है (समकोण के सामने की भुजा)।
विलोम: यदि c² = a² + b², तो त्रिभुज समकोण है।
बौधायन शुल्ब सूत्र (लगभग 800 ई.पू.) आयत के विकर्ण का नियम देता है।

पाइथागोरस त्रिक

a² + b² = c² संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)।
गुणज भी: (6, 8, 10), (9, 12, 15)।
किसी m > 1 के लिए (2m, m² − 1, m² + 1) त्रिक है।

मुख्य शब्द

कर्ण: समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा, समकोण के सामने
पाइथागोरस त्रिक: a² + b² = c² वाली तीन पूर्ण संख्याएँ
बौधायन शुल्ब सूत्र: प्राचीन भारतीय ग्रंथ जिसमें आयत के विकर्ण का नियम है, पाइथागोरस प्रमेय जैसा विचार

सूत्र

c² = a² + b²
आयत का विकर्ण = √(l² + b²)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

जाँचिए कि 7, 24 और 25 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है या नहीं।2 अंक

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²। हाँ, समकोण है।

13 m की सीढ़ी 12 m ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। उसका पाद दीवार से कितनी दूर है?3 अंक

√(13² − 12²) = √25 = 5 m।

प्रमेय लिखिए और 40 m × 30 m के आयताकार खेत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। दो भुजाओं के साथ चलने की तुलना में विकर्ण पर चलना कितना छोटा है? 10 को सबसे छोटी संख्या लेकर पाइथागोरीय त्रिक भी ज्ञात कीजिए।5 अंक

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है (बौधायन ने इसे आयत के विकर्ण हेतु बताया)। विकर्ण = √(40² + 30²) = √2500 = 50 m। दो भुजाओं से = 70 m, अतः विकर्ण 20 m छोटा। (2m, m² − 1, m² + 1) में m = 5 से: (10, 24, 26)।

त्वरित पुनरावृत्ति

प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज के लिए।
3-4-5 सबसे छोटा त्रिक।
बौधायन ने शुल्ब सूत्रों में दिया।

परीक्षा सुझाव

c के लिए सदा सबसे लंबी भुजा का वर्ग लें।
सीढ़ी-दीवार प्रश्न समकोण त्रिभुज के प्रश्न हैं।

अभ्यास MCQ

समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा है
1. कर्ण
2. लंब
3. आधार
4. माध्यिका
उत्तर देखें
उत्तर: (a) कर्ण. कर्ण।
यदि भुजाएँ 6 और 8 हैं, तो कर्ण है
1. 12
2. 10
3. 14
4. 9
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 10. √(36 + 64)।
इनमें पाइथागोरस त्रिक कौन है?
1. (5, 12, 13)
2. (4, 5, 6)
3. (6, 7, 9)
4. (2, 3, 4)
उत्तर देखें
उत्तर: (a) (5, 12, 13). 25 + 144 = 169।
13 m की सीढ़ी दीवार पर 12 m ऊँचाई तक पहुँचती है। उसका पाद दीवार से कितनी दूर है?
1. 5 m
2. 1 m
3. 25 m
4. 7 m
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5 m. √(169 − 144)।
समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 9 cm और 12 cm हैं। कर्ण है
1. 15 cm
2. 13 cm
3. 21 cm
4. 17 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 15 cm. √(81 + 144)।
9, 12 और 15 भुजाओं वाला त्रिभुज है
1. न्यूनकोण
2. समकोण
3. अधिककोण
4. समबाहु
उत्तर देखें
उत्तर: (b) समकोण. 81 + 144 = 225।
5 cm भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है
1. 5√2 cm
2. 10 cm
3. 25 cm
4. 5 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5√2 cm. √(25 + 25)।
पाइथागोरीय त्रिक कौन-सा है
1. (5, 12, 14)
2. (8, 15, 17)
3. (6, 7, 9)
4. (4, 5, 6)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (8, 15, 17). 64 + 225 = 289।

सभी अध्याय: कक्षा 8 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।