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कुछ ज्यामितीय विषयों की खोज – कक्षा 8 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 8 गणित, अध्याय 11। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

फ्रैक्टल ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें एक ही प्रतिरूप छोटे से छोटे पैमाने पर दोहराया जाता है, जैसे सियरपिंस्की कालीन, सियरपिंस्की त्रिभुज और कॉख हिमकण। हम ठोसों को देखना भी सीखते हैं: जालों से उन्हें बनाना, फलक, किनारे और शीर्ष गिनना, और अलग-अलग ओर से उनके दृश्य बनाना।

फ्रैक्टल

सियरपिंस्की कालीन: वर्ग को 9 बराबर वर्गों में बाँटकर बीच वाला हटाएँ; हर बचे वर्ग पर दोहराएँ। n चरणों के बाद 8ⁿ वर्ग बचते हैं और मूल क्षेत्रफल का (8/9)ⁿ भाग बचता है।
सियरपिंस्की त्रिभुज: त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु मिलाकर बीच का त्रिभुज हटाएँ; दोहराएँ। n चरणों के बाद 3ⁿ त्रिभुज बचते हैं और मूल क्षेत्रफल का (3/4)ⁿ भाग बचता है।
कॉख हिमकण: हर भुजा को तीन बराबर भागों में बाँटें, बीच के भाग पर समबाहु त्रिभुज बनाकर उसका आधार हटाएँ; हर चरण में परिमाप 4/3 गुना होता है।
फ्रैक्टल प्रतिरूप प्रकृति (फ़र्न, तटरेखाएँ, फूलगोभी) और कला व स्थापत्य में दिखते हैं।

ठोसों का चित्रण

जाल एक समतल आकृति है जिसे मोड़कर ठोस बनाया जा सकता है; घन के 11 अलग-अलग जाल होते हैं।
बहुफलकों में फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं; ऑयलर सूत्र: F + V − E = 2।
सामने, बगल और ऊपर से ठोस के प्रक्षेप (दृश्य) उसे बनाने और पहचानने में मदद करते हैं।

मुख्य शब्द

फ्रैक्टल: ऐसी आकृति जिसके भाग पूरी आकृति जैसे हों और छोटे पैमाने पर दोहराए जाएँ
जाल: द्वि-आयामी प्रतिरूप जो मोड़ने पर त्रि-आयामी ठोस बनाता है
बहुफलक: समतल बहुभुजाकार फलकों, सीधे किनारों और शीर्षों वाला ठोस
प्रक्षेप: किसी एक दिशा, जैसे सामने, बगल या ऊपर से देखा गया ठोस का दृश्य

सूत्र

ऑयलर सूत्र: F + V − E = 2
सियरपिंस्की कालीन: n चरणों के बाद वर्ग = 8ⁿ
सियरपिंस्की त्रिभुज: n चरणों के बाद त्रिभुज = 3ⁿ
कॉख हिमकण: हर चरण में परिमाप × 4/3

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

फ्रैक्टल क्या है? दो उदाहरण दीजिए।2 अंक

फ्रैक्टल ऐसी आकृति है जो छोटे भागों से बनी हो जो पूरी आकृति जैसे दिखें, और एक ही प्रतिरूप छोटे से छोटे पैमाने पर दोहराया जाए। उदाहरण: सियरपिंस्की त्रिभुज और कॉख हिमकण; प्रकृति में फ़र्न और फूलगोभी फ्रैक्टल जैसे प्रतिरूप दिखाते हैं।

घन और वर्ग पिरामिड के लिए ऑयलर सूत्र सत्यापित कीजिए।3 अंक

घन में F = 6, V = 8 और E = 12, अतः F + V − E = 6 + 8 − 12 = 2। वर्ग पिरामिड में F = 5 (एक वर्ग और चार त्रिभुज), V = 5 और E = 8, अतः F + V − E = 5 + 5 − 8 = 2। दोनों के लिए ऑयलर सूत्र सत्य है।

सियरपिंस्की कालीन और कॉख हिमकण कैसे बनते हैं, और हर चरण में क्षेत्रफल व परिमाप कैसे बदलते हैं, वर्णन कीजिए।5 अंक

सियरपिंस्की कालीन: एक वर्ग लें, उसे 9 बराबर छोटे वर्गों में बाँटें और बीच वाला हटा दें। बचे 8 वर्गों में से हर एक पर यही प्रक्रिया दोहराएँ। हर चरण में वर्गों की संख्या 8 गुना होती है और हर बचा भाग क्षेत्रफल का 8/9 रखता है, अतः n चरणों के बाद 8ⁿ वर्ग होते हैं और मूल क्षेत्रफल का (8/9)ⁿ भाग बचता है; क्षेत्रफल घटते-घटते शून्य की ओर जाता है। कॉख हिमकण: एक समबाहु त्रिभुज लें। हर भुजा को तीन बराबर भागों में बाँटें, बीच वाले भाग पर बाहर की ओर समबाहु त्रिभुज बनाएँ और उसका आधार हटा दें। हर भुजा की जगह 4 खंड आते हैं, हर एक एक-तिहाई लंबा, अतः हर चरण में परिमाप 4/3 गुना होता है और बिना सीमा बढ़ता जाता है, जबकि क्षेत्रफल थोड़ा ही बढ़ता है और एक सीमित क्षेत्र में रहता है।

त्वरित पुनरावृत्ति

फ्रैक्टल = स्व-समरूप दोहराता प्रतिरूप।
कालीन: 9 में से 8 रखें; त्रिभुज: 4 में से 3 रखें।
कॉख: हर चरण में परिमाप 4/3 गुना।
F + V − E = 2।

परीक्षा सुझाव

फ्रैक्टल प्रश्नों में पहले चरण 1, 2 और 3 का प्रतिरूप लिखें, फिर सामान्यीकरण करें।
अन्य ठोसों पर प्रयोग से पहले ऑयलर सूत्र को घन पर जाँचें (6 + 8 − 12 = 2)।

अभ्यास MCQ

घन के कितने फलक होते हैं
1. 4
2. 6
3. 8
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 6. घन के 6 वर्गाकार फलक होते हैं।
मोड़कर ठोस बनाने वाला समतल प्रतिरूप कहलाता है
1. प्रक्षेप
2. प्रिज़्म
3. फ्रैक्टल
4. जाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) जाल. छह वर्गों के जाल से घन बनता है।
बहुफलकों के लिए ऑयलर सूत्र है
1. F + V + E = 2
2. F − V + E = 2
3. F + V − E = 2
4. F × V = E
उत्तर देखें
उत्तर: (c) F + V − E = 2. घन के लिए 6 + 8 − 12 = 2।
सियरपिंस्की कालीन में पहले चरण के बाद कितने छोटे वर्ग बचते हैं
1. 3
2. 9
3. 8
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 8. वर्ग को 9 में बाँटकर बीच वाला हटाया जाता है।
सियरपिंस्की त्रिभुज में 2 चरणों के बाद कितने त्रिभुज बचते हैं
1. 6
2. 9
3. 12
4. 16
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9. 3² = 9 त्रिभुज।
त्रिभुजाकार प्रिज़्म के 5 फलक और 6 शीर्ष हैं। उसके किनारों की संख्या है
1. 8
2. 9
3. 10
4. 11
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9. E = F + V − 2 = 5 + 6 − 2 = 9।
कॉख हिमकण का परिमाप 9 cm से शुरू होता है। एक चरण के बाद यह होगा
1. 9 cm
2. 10 cm
3. 12 cm
4. 27 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 12 cm. 9 × 4/3 = 12 cm।
सियरपिंस्की कालीन में 2 चरणों के बाद मूल क्षेत्रफल का कितना भाग बचता है
1. 8/9
2. 16/81
3. 1/9
4. 64/81
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 64/81. (8/9)² = 64/81।

सभी अध्याय: कक्षा 8 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।