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रचनाएँ और टाइलिंग – कक्षा 7 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 7 गणित, अध्याय 14। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

रूलर और परकार से हम कोण मापे बिना लंब समद्विभाजक, कोण समद्विभाजक और लंब की रचना कर सकते हैं। टाइलिंग का अर्थ है किसी समतल सतह को आकृतियों से बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के ढकना; केवल कुछ सम बहुभुज अकेले समतल को ढक सकते हैं।

ज्यामितीय रचनाएँ

AB का लंब समद्विभाजक: AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर A और B से दोनों ओर चाप खींचें; दोनों कटान बिंदु मिलाएँ।
कोण समद्विभाजक: शीर्ष से दोनों भुजाओं को काटता चाप खींचें; इन दोनों बिंदुओं से बराबर चाप खींचें जो कटें; शीर्ष को कटान बिंदु से मिलाएँ।
60° का कोण बनाने हेतु शीर्ष से चाप खींचें और भुजा पर कटान बिंदु से उसी त्रिज्या का चाप उसे काटे।

टाइलिंग

टाइलिंग (चौकोरबंदी) सतह को आकृतियों से पूरी तरह, बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के ढकती है।
टाइलों के हर मिलन बिंदु पर कोणों का योग 360° होना चाहिए।
सम बहुभुजों में केवल समबाहु त्रिभुज (6 × 60°), वर्ग (4 × 90°) और सम षट्भुज (3 × 120°) अकेले समतल ढकते हैं।
सम पंचभुज (108°) अकेले नहीं ढक सकता क्योंकि 360, 108 का गुणज नहीं है; अष्टभुज और वर्ग (135° + 135° + 90°) जैसे संयोजन ढक सकते हैं।

मुख्य शब्द

लंब समद्विभाजक: रेखाखंड के मध्य बिंदु से उस पर 90° पर जाने वाली रेखा
कोण समद्विभाजक: कोण को दो बराबर कोणों में बाँटने वाली किरण
टाइलिंग: समतल सतह को बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के आकृतियों से ढकना
सम बहुभुज: सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर वाला बहुभुज

सूत्र

सम n-भुज का अंतःकोण = (n − 2) × 180° ÷ n
टाइलिंग शीर्ष पर: कोणों का योग = 360°

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

टाइलिंग क्या है? अकेले समतल ढक सकने वाले सम बहुभुजों के नाम लिखिए।2 अंक

टाइलिंग किसी समतल सतह को आकृतियों से बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के ढकना है। अकेले समतल ढक सकने वाले सम बहुभुज केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और सम षट्भुज हैं।

कोण ABC के समद्विभाजक की रचना के चरण लिखिए।3 अंक

B को केंद्र मानकर किसी त्रिज्या से चाप खींचें जो BA को P पर और BC को Q पर काटे। P और Q को केंद्र मानकर PQ के आधे से अधिक त्रिज्या से दो चाप खींचें जो कोण के भीतर R पर कटें। BR मिलाएँ। किरण BR कोण ABC की समद्विभाजक है, अतः कोण ABR = कोण RBC।

अंतःकोणों की सहायता से समझाइए कि केवल तीन सम बहुभुज ही समतल को क्यों ढक सकते हैं।5 अंक

टाइलें एक बिंदु के चारों ओर बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के फ़िट हों, इसके लिए वहाँ मिलने वाले कोणों का योग ठीक 360° होना चाहिए। केवल एक प्रकार का सम बहुभुज प्रयोग हो तो 360° उसके अंतःकोण का पूर्ण-संख्या गुणज होना चाहिए। समबाहु त्रिभुज का कोण 60° है, और 6 × 60° = 360°। वर्ग का 90° है, और 4 × 90° = 360°। सम षट्भुज का 120° है, और 3 × 120° = 360°। सम पंचभुज का 108° है; 3 × 108° = 324° से रिक्त स्थान बचता है और 4 × 108° = 432° अतिव्यापन करता है। छह से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के अंतःकोण 120° से अधिक पर 180° से कम होते हैं, इसलिए तीन से कम टाइलें चाहिए होंगी, जो असंभव है क्योंकि एक बिंदु पर कम से कम तीन टाइलें मिलनी चाहिए। इसलिए केवल ये तीन सम बहुभुज अकेले समतल ढकते हैं।

त्वरित पुनरावृत्ति

लंब समद्विभाजक: दोनों सिरों से बराबर चाप।
कोण समद्विभाजक: भुजाओं पर चाप, फिर बराबर चाप, शीर्ष से मिलाएँ।
सम टाइलिंग: केवल त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज।
एक बिंदु के चारों ओर कोण = 360°।

परीक्षा सुझाव

रचना में सभी चाप चिह्न रहने दें; परीक्षक रचना रेखाएँ जाँचते हैं।
कोई सम बहुभुज अकेले ढकता है या नहीं, जाँचने हेतु देखें कि 360 ÷ (अंतःकोण) पूर्ण संख्या है या नहीं।

अभ्यास MCQ

फ़र्श को बिना रिक्त स्थान या अतिव्यापन के आकृतियों से ढकना कहलाता है
1. टाइलिंग
2. समद्विभाजन
3. मापन
4. घूर्णन
उत्तर देखें
उत्तर: (a) टाइलिंग. इसे चौकोरबंदी भी कहते हैं।
वर्ग का प्रत्येक अंतःकोण है
1. 60°
2. 90°
3. 108°
4. 120°
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 90°. ऐसे चार कोण एक बिंदु पर 360° बनाते हैं।
कोण को दो बराबर भागों में बाँटने वाली किरण है
1. लंब
2. कोण समद्विभाजक
3. विकर्ण
4. त्रिज्या
उत्तर देखें
उत्तर: (b) कोण समद्विभाजक. दोनों भाग बराबर होते हैं।
त्रिभुजाकार टाइलिंग में एक बिंदु पर कितने समबाहु त्रिभुज मिलते हैं
1. 3
2. 4
3. 6
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6. 6 × 60° = 360°।
सम षट्भुज का अंतःकोण है
1. 108°
2. 120°
3. 135°
4. 144°
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 120°. (6 − 2) × 180° ÷ 6 = 120°।
AB का लंब समद्विभाजक किससे होकर जाता है
1. बिंदु A से
2. AB के मध्य बिंदु से 90° पर
3. केवल बिंदु B से
4. AB के किसी भी बिंदु से
उत्तर देखें
उत्तर: (b) AB के मध्य बिंदु से 90° पर. यह AB को समकोण पर बराबर भागों में काटता है।
सम पंचभुज अकेले समतल क्यों नहीं ढक सकता
1. इसकी भुजाएँ असमान हैं
2. इसके कोण नहीं हैं
3. इसकी भुजाएँ बहुत अधिक हैं
4. 360, इसके कोण 108° का गुणज नहीं है
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 360, इसके कोण 108° का गुणज नहीं है. 3 × 108° = 324° से रिक्त स्थान बचता है, 4 × 108° अतिव्यापन करता है।
कौन-सा संयोजन एक बिंदु के चारों ओर का स्थान ठीक भरता है
1. दो सम षट्भुज
2. तीन सम पंचभुज
3. दो सम अष्टभुज और एक वर्ग
4. एक अष्टभुज और दो त्रिभुज
उत्तर देखें
उत्तर: (c) दो सम अष्टभुज और एक वर्ग. 135° + 135° + 90° = 360°।

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यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।