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सदिश बीजगणित – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 10। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

सदिशों में परिमाण और दिशा होती है। योग, अदिश (बिंदु) गुणनफल और सदिश (क्रॉस) गुणनफल कोणों, प्रक्षेपों और क्षेत्रफलों के प्रश्न हल करते हैं।

मूल बातें

(x, y, z) का स्थिति सदिश: xî + yĵ + zk̂; परिमाण √(x² + y² + z²)।
इकाई सदिश â = a/|a|; दिक्-कोसाइन l, m, n जिनमें l² + m² + n² = 1।
विभाजन सूत्र: (mb + na)/(m + n)।

गुणनफल

अदिश गुणनफल a·b = |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a ⟂ b ⇔ a·b = 0।
a का b पर प्रक्षेप = (a·b)/|b|।
सदिश गुणनफल |a × b| = |a||b| sin θ; समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = |a × b|; त्रिभुज = ½|a × b|; a ∥ b ⇔ a × b = 0।

मुख्य शब्द

इकाई सदिश: परिमाण 1 वाला सदिश
संरेख सदिश: एक ही रेखा के समांतर सदिश
अदिश त्रिक गुणनफल: [a b c] = a·(b × c), a, b, c से बने समांतर षट्फलक का आयतन; समतलीय सदिशों हेतु शून्य

सूत्र

a·b = |a||b| cos θ
|a × b| = |a||b| sin θ
प्रक्षेप = (a·b)/|b|

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

a = 2î + 3ĵ + k̂ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।2 अंक

|a| = √14, â = (2î + 3ĵ + k̂)/√14।

शीर्षों A(1, 1, 2), B(2, 3, 5), C(1, 5, 5) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।3 अंक

AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 4ĵ + 3k̂। AB × AC = (6 − 12)î − (3 − 0)ĵ + (4 − 0)k̂ = −6î − 3ĵ + 4k̂। |AB × AC| = √61। क्षेत्रफल = ½√61 वर्ग इकाई।

यदि a + b + c = 0 और |a| = 3, |b| = 5, |c| = 7, तो a और b के बीच कोण ज्ञात कीजिए। a = î + 2ĵ + 2k̂ और b = 3î + ĵ + 2k̂ (अलग सदिश) हेतु b का a पर प्रक्षेप भी ज्ञात कीजिए।5 अंक

a + b = −c, अतः |a + b|² = |c|²: 9 + 25 + 2a·b = 49, a·b = 7.5। cos θ = 7.5/15 = 1/2, θ = 60°। b का a पर प्रक्षेप = (a·b)/|a| = (3 + 2 + 4)/3 = 3।

त्वरित पुनरावृत्ति

अदिश गुणनफल अदिश; सदिश गुणनफल सदिश।
लंबवत ⇒ बिंदु गुणनफल 0।
समांतर ⇒ क्रॉस गुणनफल 0।

परीक्षा सुझाव

î·î = 1, î·ĵ = 0; î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ।
सदिशों के बीच कोण: cos θ = (a·b)/(|a||b|); सदा पहले परिमाण ज्ञात करें।

अभ्यास MCQ

3î + 4ĵ का परिमाण है
1. 7
2. 25
3. 5
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 5. √(9 + 16)।
î × ĵ बराबर है
1. −k̂
2. k̂
3. 0
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (b) k̂. दक्षिण-हस्त नियम।
(î + 2ĵ + 3k̂)·(2î − ĵ + k̂) बराबर है
1. 3
2. 5
3. 7
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 3. 2 − 2 + 3।
सदिश a और b लंबवत हैं यदि
1. a × b = 0
2. |a| = |b|
3. a·b = 0
4. a = b
उत्तर देखें
उत्तर: (c) a·b = 0. cos 90° = 0।
यदि |a| = 2, |b| = 3 और a·b = 3, तो a और b के बीच कोण है
1. 30°
2. 45°
3. 60°
4. 90°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 60°. cos θ = 1/2।
आसन्न भुजाओं î + ĵ और î − ĵ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है
1. 1
2. √2
3. 2
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2. |−2k̂| = 2।
2î + 3ĵ + 2k̂ का î + 2ĵ + k̂ पर प्रक्षेप है
1. 5
2. 10
3. 6/√10
4. 10/√6
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 10/√6. (2 + 6 + 2)/√6।
λ का वह मान जिस पर 2î + λĵ + k̂ और î − 2ĵ + 3k̂ लंबवत हैं
1. 1.5
2. 2.5
3. 2
4. −2.5
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2.5. 2 − 2λ + 3 = 0।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।