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अवकल समीकरण – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 9। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

अवकल समीकरण फलन को उसके अवकलजों से जोड़ता है। कोटि और घात इसे वर्गीकृत करते हैं, और चर पृथक्करण व समाकलन गुणक जैसी विधियाँ इसे हल करती हैं।

मूल बातें

कोटि: उपस्थित उच्चतम अवकलज; घात: उच्चतम अवकलज की घात (जब समीकरण अवकलजों में बहुपद हो)।
व्यापक हल में कोटि जितने स्वेच्छ अचर; विशिष्ट हल दी गई शर्तों से।

विधियाँ

पृथक्करणीय चर: f(y) dy = g(x) dx, दोनों ओर समाकलन।
समघातीय समीकरण: y = vx रखें।
रैखिक: dy/dx + Py = Q, समाकलन गुणक IF = e^(∫P dx), हल y·IF = ∫Q·IF dx + C।

मुख्य शब्द

कोटि: समीकरण में उच्चतम अवकलज की कोटि
समाकलन गुणक: e^(∫P dx), रैखिक समीकरण को यथातथ बनाने वाला गुणक
विशिष्ट हल: दी गई प्रारंभिक शर्तों से अचर निर्धारित कर व्यापक हल से प्राप्त हल

सूत्र

IF = e^(∫P dx)
y·IF = ∫Q·IF dx + C

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

रेखाओं के कुल y = mx का अवकल समीकरण बनाइए, जहाँ m स्वेच्छ है।2 अंक

dy/dx = m = y/x, अतः x dy/dx − y = 0।

समघातीय समीकरण (x² + y²) dx = 2xy dy हल कीजिए।3 अंक

y = vx रखें: (1 + v²) = 2v(v + x dv/dx), अतः x dv/dx = (1 − v²)/(2v)। तब 2v dv/(1 − v²) = dx/x, जिससे −log|1 − v²| = log|x| + log C, अर्थात x(1 − v²) = C₁। v = y/x रखने पर: x² − y² = Cx।

dy/dx + y cot x = 2x + x² cot x हल कीजिए, जहाँ y(π/2) = 0।5 अंक

रैखिक, P = cot x, IF = e^(∫cot x dx) = sin x। y sin x = ∫(2x + x² cot x) sin x dx = ∫(2x sin x + x² cos x) dx = x² sin x + C (क्योंकि d/dx(x² sin x) = 2x sin x + x² cos x)। अतः y = x² + C cosec x। y(π/2) = 0: π²/4 + C = 0, C = −π²/4। हल: y = x² − (π²/4) cosec x।

त्वरित पुनरावृत्ति

अचरों की संख्या = कोटि।
रैखिक समीकरण हेतु IF।
समघातीय: y = vx।

परीक्षा सुझाव

यदि अवकलज sin, log आदि के अंदर हो तो घात परिभाषित नहीं।
पहले प्रकार पहचानें: पृथक्करणीय चर, समघातीय (y = vx रखें) या रैखिक (IF ज्ञात करें)।

अभ्यास MCQ

d²y/dx² + 3(dy/dx)³ = 0 की कोटि है
1. 1
2. 2
3. 3
4. 6
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2. उच्चतम अवकलज द्वितीय।
(d²y/dx²)³ + dy/dx = 0 की घात है
1. 1
2. 3
3. 2
4. परिभाषित नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 3. उच्चतम अवकलज की घात।
dy/dx = y का हल है
1. y = e^(−x) + C
2. y = x + C
3. y = Cx
4. y = Ceˣ
उत्तर देखें
उत्तर: (d) y = Ceˣ. dy/y = dx।
dy/dx + y/x = x² का समाकलन गुणक है
1. 1/x
2. x
3. eˣ
4. log x
उत्तर देखें
उत्तर: (b) x. e^(log x)।
dy/dx = e^(x+y) का व्यापक हल है
1. e^x − e^y = C
2. e^x + e^(−y) = C
3. e^(x+y) = C
4. e^(−x) + e^y = C
उत्तर देखें
उत्तर: (b) e^x + e^(−y) = C. e^(−y) dy = e^x dx।
तृतीय कोटि अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या है
1. 1
2. 3
3. 2
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 3. कोटि के बराबर।
y(0) = 2 के साथ dy/dx = x/y का हल है
1. y = x + 2
2. y² + x² = 4
3. y² − x² = 4
4. xy = 2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) y² − x² = 4. y dy = x dx ⇒ y² − x² = C = 4।
(dy/dx)² + y = sin(d²y/dx²) की कोटि और घात है
1. 2 और 1
2. 2 और परिभाषित नहीं
3. 1 और 2
4. 2 और 2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2 और परिभाषित नहीं. अवकलज sine के अंदर।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।