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समाकलनों के अनुप्रयोग – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 8। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

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अध्याय का सार

निश्चित समाकल वक्रों के नीचे और वक्रों के बीच के क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

वक्र के नीचे क्षेत्रफल

y = f(x), x-अक्ष, x = a और x = b से घिरा क्षेत्रफल: ∫ₐᵇ |f(x)| dx।
y-अक्ष के साथ क्षेत्रफल: y-सीमाओं के बीच ∫ x dy।
वक्र x-अक्ष के नीचे जाए तो उस भाग का निरपेक्ष मान लें।

मानक परिणाम

वृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल πa² (4 × चतुर्थांश)।
दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल πab।
दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल = प्रतिच्छेद बिंदुओं के बीच ∫(ऊपरी − निचला) dx।

मुख्य शब्द

वक्र के नीचे क्षेत्रफल: वक्र, अक्ष और दो कोटियों से घिरा क्षेत्र
दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल: उनके प्रतिच्छेद बिंदुओं के बीच ∫ (ऊपरी वक्र − निचला वक्र) dx
y-अक्ष के अनुदिश क्षेत्रफल: y-सीमाओं के बीच ∫ x dy, जब क्षेत्र को क्षैतिज रूप में लिखना आसान हो

सूत्र

क्षेत्रफल = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, f ≥ g
दीर्घवृत्त क्षेत्रफल = πab

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

x = 0 से x = 2 तक y = x³ के नीचे क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।2 अंक

∫₀² x³ dx = [x⁴/4]₀² = 4 वर्ग इकाई।

y² = 4x और रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।3 अंक

क्षेत्र x-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल = 2∫₀³ 2√x dx = 4 × [⅔x^(3/2)]₀³ = (8/3) × 3√3 = 8√3 वर्ग इकाई।

परवलय y = x² और रेखा y = x + 2 के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।5 अंक

प्रतिच्छेद: x² = x + 2, x² − x − 2 = 0, x = −1 या 2। (−1, 2) पर रेखा परवलय के ऊपर है। क्षेत्रफल = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 − (−7/6) = 27/6 = 9/2 वर्ग इकाई।

त्वरित पुनरावृत्ति

सममिति से कार्य घटाएँ।
क्षेत्रफल सदा धनात्मक।
वृत्त πa², दीर्घवृत्त πab।

परीक्षा सुझाव

सीमाएँ और ऊपरी वक्र जानने को पहले क्षेत्र का चित्र बनाएँ।
पहले प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें; वक्र x-अक्ष को पार करे तो समाकल बाँटें और निरपेक्ष मान जोड़ें।

अभ्यास MCQ

दीर्घवृत्त x²/9 + y²/4 = 1 का क्षेत्रफल है
1. 13π
2. 6π
3. 36π
4. 12π
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 6π. π × 3 × 2।
x = 0 से x = 2 तक y = x के नीचे क्षेत्रफल है
1. 1
2. 2
3. 4
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2. ½ × 2 × 2।
y = x², x-अक्ष और x = 3 से घिरा क्षेत्रफल है
1. 27
2. 9
3. 3
4. 6
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9. [x³/3]₀³।
x² + y² = 16 के चतुर्थांश का क्षेत्रफल है
1. 8π
2. 16π
3. 4π
4. 2π
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 4π. ¼ × 16π।
y = 2x, x-अक्ष और x = 3 से घिरा क्षेत्रफल है
1. 6
2. 9
3. 18
4. 3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 9. ½ × 3 × 6।
y = x² और y = x के बीच क्षेत्रफल है
1. 1/6
2. 1/3
3. 1/2
4. 1/12
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1/6. ∫₀¹ (x − x²) dx।
0 से π तक y = sin x के नीचे क्षेत्रफल है
1. 2
2. 1
3. 0
4. π
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2. [−cos x]₀^π = 2।
वृत्त x² + y² = 4 से घिरा क्षेत्रफल है
1. 2π
2. 4π
3. 8π
4. 16π
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4π. r = 2 पर πr²।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।