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समाकलन – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 7। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

समाकलन अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। अनिश्चित समाकल प्रतिअवकलजों का कुल देते हैं; निश्चित समाकल निवल क्षेत्रफल देते हैं और कलन की मूल प्रमेय से निकलते हैं।

विधियाँ

मानक रूप: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = log|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C।
प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न और खंडशः समाकलन: ∫u v dx = u∫v dx − ∫(u′∫v dx) dx (ILATE क्रम)।
विशेष रूप: ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C।

निश्चित समाकल

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)।
∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx।
∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx यदि f सम, और 0 यदि f विषम।

मुख्य शब्द

प्रतिअवकलज: वह फलन जिसका अवकलज दिया फलन हो
ILATE: खंडशः समाकलन में u चुनने का क्रम: प्रतिलोम, लघुगणक, बीजीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी
आंशिक भिन्न: परिमेय फलन को सरल भिन्नों में तोड़ना ताकि प्रत्येक का समाकलन हो सके

सूत्र

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣf(x) + C
∫₋ₐᵃ विषम f = 0

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

∫ (x³ − 1)/x² dx का मान ज्ञात कीजिए।2 अंक

∫ (x − x⁻²) dx = x²/2 + 1/x + C।

आंशिक भिन्नों से ∫ dx/[(x − 1)(x + 2)] का मान ज्ञात कीजिए।3 अंक

1/[(x − 1)(x + 2)] = (1/3)[1/(x − 1) − 1/(x + 2)]। समाकल = (1/3) log|(x − 1)/(x + 2)| + C।

∫₀^π x sin x/(1 + cos²x) dx का मान ज्ञात कीजिए।5 अंक

समाकल I मानें। ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a − x) dx से: I = ∫₀^π (π − x) sin x/(1 + cos²x) dx। जोड़ने पर 2I = π ∫₀^π sin x/(1 + cos²x) dx। cos x = t, −sin x dx = dt रखें: ∫₋₁¹ dt/(1 + t²) = [tan⁻¹t]₋₁¹ = π/2। अतः 2I = π × π/2 और I = π²/4।

त्वरित पुनरावृत्ति

अनिश्चित समाकल में + C न भूलें।
सममित सीमाओं पर विषम फलन का मान 0।
खंडशः हेतु ILATE।

परीक्षा सुझाव

sin/cos सममित समाकलों में ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx लगाएँ।
∫ f′(x)/f(x) dx का उत्तर log|f(x)| + C — जाँचें कि अंश हर का अवकलज है या नहीं।

अभ्यास MCQ

∫ cos x dx बराबर है
1. sin x + C
2. −sin x + C
3. cos x + C
4. −cos x + C
उत्तर देखें
उत्तर: (a) sin x + C. अवकलज का उल्टा।
∫ 1/x dx बराबर है
1. x² + C
2. 1/x² + C
3. log|x| + C
4. eˣ + C
उत्तर देखें
उत्तर: (c) log|x| + C. मानक रूप।
∫₀¹ x² dx बराबर है
1. 1/2
2. 1/3
3. 1
4. 2/3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1/3. [x³/3]₀¹।
∫₋₁¹ x³ dx बराबर है
1. 1/2
2. 1/4
3. 2
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 0. विषम फलन।
∫ sec²x/tan x dx बराबर है
1. log|tan x| + C
2. log|sec x| + C
3. tan²x/2 + C
4. sec x + C
उत्तर देखें
उत्तर: (a) log|tan x| + C. f′/f रूप।
∫ x eˣ dx बराबर है
1. x eˣ + C
2. eˣ(x − 1) + C
3. eˣ(x + 1) + C
4. x² eˣ/2 + C
उत्तर देखें
उत्तर: (b) eˣ(x − 1) + C. खंडशः।
∫ dx/(x² + 9) बराबर है
1. 3 tan⁻¹(3x) + C
2. tan⁻¹(x/3) + C
3. (1/9) tan⁻¹ x + C
4. (1/3) tan⁻¹(x/3) + C
उत्तर देखें
उत्तर: (d) (1/3) tan⁻¹(x/3) + C. a = 3।
∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx बराबर है
1. π/2
2. 1
3. π/4
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: (c) π/4. f(a − x) गुणधर्म: 2I = π/2।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।