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अवकलज के अनुप्रयोग – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 6। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

अवकलज परिवर्तन की दर मापते हैं, स्पर्श रेखाएँ देते हैं, बताते हैं कि फलन कहाँ वर्धमान या ह्रासमान है, और उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ ढूँढते हैं।

दर और एकदिष्टता

परिवर्तन दर: संबंधित दरों हेतु dA/dt = (dA/dr)(dr/dt)।
f′(x) > 0 ⇒ वर्धमान; f′(x) < 0 ⇒ ह्रासमान।
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की ढाल = f′(x₁); अभिलंब की ढाल = −1/f′(x₁)।

उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

क्रांतिक बिंदु: f′(x) = 0 या अपरिभाषित।
द्वितीय अवकलज परीक्षण: f″(c) < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ; f″(c) > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ।
[a, b] पर निरपेक्ष चरम: क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं के मान तुलना करें।

मुख्य शब्द

क्रांतिक बिंदु: वह बिंदु जहाँ f′(x) = 0 या अस्तित्व न हो
स्थानीय उच्चिष्ठ: वह बिंदु जहाँ f पास के बिंदुओं से बड़ा हो
नति परिवर्तन बिंदु: वह बिंदु जहाँ वक्र की अवतलता बदलती है; वहाँ f″ का चिह्न बदलता है

सूत्र

स्पर्श रेखा: y − y₁ = f′(x₁)(x − x₁)
f″(c) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ; f″(c) > 0 ⇒ निम्निष्ठ

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

r = 3 cm पर गोले के आयतन की त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन दर ज्ञात कीजिए।2 अंक

dV/dr = 4πr² = 36π cm³/cm।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 15 वर्धमान या ह्रासमान है।3 अंक

f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2)। (−∞, 1) और (2, ∞) पर वर्धमान; (1, 2) पर ह्रासमान।

18 cm भुजा की वर्गाकार चादर के कोनों से बराबर वर्ग काटकर मोड़ने से खुला डिब्बा बनाया जाता है। अधिकतम आयतन हेतु काटे जाने वाले वर्ग की भुजा और अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।5 अंक

काटी गई भुजा = x। V = x(18 − 2x)², 0 < x < 9। dV/dx = (18 − 2x)² − 4x(18 − 2x) = (18 − 2x)(18 − 6x)। dV/dx = 0 से x = 3 (x = 9 पर आयतन शून्य)। x = 3 पर d²V/dx² = 24x − 144 = −72 < 0, अतः अधिकतम। V = 3 × 12² = 432 cm³।

त्वरित पुनरावृत्ति

f′ > 0 अर्थात वर्धमान।
द्वितीय अवकलज परीक्षण उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ तय करता है।
निरपेक्ष चरम हेतु अंत बिंदु जाँचें।

परीक्षा सुझाव

अनुकूलन शब्द-प्रश्नों में अवकलन से पहले राशि को एक चर में लिखें।
शब्द-प्रश्नों में अधिकतम या न्यूनतम की पुष्टि हेतु सदा द्वितीय अवकलज या अंत बिंदु जाँचें।

अभ्यास MCQ

किसी अंतराल पर f′(x) > 0 हो तो f है
1. ह्रासमान
2. वर्धमान
3. अचर
4. शून्य
उत्तर देखें
उत्तर: (b) वर्धमान. धनात्मक ढाल।
x = 3 पर y = x² की स्पर्श रेखा की ढाल है
1. 3
2. 9
3. 6
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6. 2x।
वृत्त की त्रिज्या 2 cm/s से बढ़ती है। r = 5 cm पर क्षेत्रफल वृद्धि की दर है
1. 10π cm²/s
2. 4π cm²/s
3. 25π cm²/s
4. 20π cm²/s
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 20π cm²/s. 2πr × 2।
f(x) = x³ − 3x का स्थानीय उच्चिष्ठ है
1. x = 1 पर
2. x = 3 पर
3. x = 0 पर
4. x = −1 पर
उत्तर देखें
उत्तर: (d) x = −1 पर. f″(−1) = −6 < 0।
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 15 ह्रासमान है
1. (−∞, 1) पर
2. (1, 3) पर
3. (3, ∞) पर
4. (0, 1) पर
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (1, 3) पर. f′ = 3(x − 1)(x − 3) < 0।
sin x + cos x का अधिकतम मान है
1. 1
2. 2
3. √2
4. 1/√2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) √2. √2 sin(x + π/4)।
योग 20 वाली दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल अधिकतम होता है जब वे हों
1. 15 और 5
2. 19 और 1
3. 12 और 8
4. 10 और 10
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 10 और 10. x(20 − x) अधिकतम x = 10 पर।
(1, 1) पर y = x² के अभिलंब का समीकरण है
1. y = 2x − 1
2. 2x + y = 3
3. x + 2y = 3
4. x − 2y = −1
उत्तर देखें
उत्तर: (c) x + 2y = 3. अभिलंब की ढाल −1/2।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।