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सांतत्य तथा अवकलनीयता – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 5। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

फलन संतत है यदि उसके ग्राफ़ में कोई टूट न हो; अवकलनीय है यदि उसकी सुपरिभाषित स्पर्श रेखा हो। अवकलन नियम संयुक्त, अस्पष्ट, प्रतिलोम, चरघातांकी और लघुगणकीय फलनों को संभालते हैं।

सांतत्य और अवकलनीयता

f, a पर संतत है यदि lim(x→a) f(x) = f(a)।
अवकलनीय ⇒ संतत, पर उल्टा नहीं (0 पर |x| संतत पर अवकलनीय नहीं)।
बहुपद, sin x, cos x, eˣ हर जगह संतत।

नियम

शृंखला नियम: d/dx f(g(x)) = f′(g(x))·g′(x)।
d/dx eˣ = eˣ; d/dx log x = 1/x; d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²); d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)।
xˣ हेतु लघुगणकीय अवकलन: d/dx xˣ = xˣ(1 + log x); प्राचलिक dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)।
रोले और माध्यमान प्रमेय अवकलज मानों को फलन मानों से जोड़ते हैं।

मुख्य शब्द

संतत फलन: प्रांत के हर बिंदु पर जिसकी सीमा उसके मान के बराबर हो
अवकलज: तात्क्षणिक परिवर्तन दर, dy/dx
रोले प्रमेय: यदि f, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय और f(a) = f(b) हो, तो (a, b) में किसी c हेतु f′(c) = 0

सूत्र

d/dx (uv) = u′v + uv′
d/dx (u/v) = (u′v − uv′)/v²
d/dx xˣ = xˣ(1 + log x)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

k ज्ञात कीजिए कि x ≤ π हेतु f(x) = kx + 1 और x > π हेतु cos x, x = π पर संतत हो।2 अंक

बाएँ सीमा = kπ + 1, दाएँ सीमा = cos π = −1। kπ + 1 = −1 से k = −2/π।

यदि x² + xy + y² = 100, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।3 अंक

2x + y + x dy/dx + 2y dy/dx = 0, अतः dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y)।

यदि y = (tan⁻¹x)², तो दिखाइए कि (x² + 1)² y₂ + 2x(x² + 1) y₁ = 2।5 अंक

y₁ = 2 tan⁻¹x/(1 + x²), अतः (1 + x²) y₁ = 2 tan⁻¹x। पुनः अवकलन: (1 + x²) y₂ + 2x y₁ = 2/(1 + x²)। (1 + x²) से गुणा: (1 + x²)² y₂ + 2x(1 + x²) y₁ = 2। सिद्ध।

त्वरित पुनरावृत्ति

अवकलनीय ⇒ संतत।
|x|, 0 पर अवकलनीय नहीं।
संयुक्त फलनों हेतु शृंखला नियम।

परीक्षा सुझाव

कोने वाले बिंदुओं पर बाएँ और दाएँ अवकलज जाँचें।
अस्पष्ट अवकलन में दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करें और y को x का फलन मानें (d/dx y² = 2y dy/dx)।

अभ्यास MCQ

d/dx (sin x) है
1. −cos x
2. −sin x
3. sin x
4. cos x
उत्तर देखें
उत्तर: (d) cos x. मानक अवकलज।
x = 0 पर f(x) = |x| है
1. असंतत
2. अवकलनीय
3. संतत पर अवकलनीय नहीं
4. अपरिभाषित
उत्तर देखें
उत्तर: (c) संतत पर अवकलनीय नहीं. कोना बिंदु।
d/dx (e^(3x)) है
1. e^(3x)
2. 3e^(3x)
3. 3x e^(3x−1)
4. e³
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 3e^(3x). शृंखला नियम।
d/dx (log(sin x)) है
1. 1/sin x
2. tan x
3. cot x
4. cos x
उत्तर देखें
उत्तर: (c) cot x. cos x / sin x।
−1/√2 < x < 1/√2 हेतु d/dx [sin⁻¹(2x√(1 − x²))] है
1. 1/√(1 − x²)
2. 2x
3. −2/√(1 − x²)
4. 2/√(1 − x²)
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 2/√(1 − x²). x = sin θ रखें।
यदि x = a cos t, y = a sin t, तो dy/dx है
1. tan t
2. −cot t
3. cot t
4. −tan t
उत्तर देखें
उत्तर: (b) −cot t. (a cos t)/(−a sin t)।
d/dx (xˣ) है
1. x·xˣ⁻¹
2. xˣ log x
3. xˣ
4. xˣ(1 + log x)
उत्तर देखें
उत्तर: (d) xˣ(1 + log x). लघुगणकीय अवकलन।
[1, 3] पर f(x) = x² हेतु माध्यमान प्रमेय का c है
1. 1.5
2. 2
3. 2.5
4. 3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2. f′(c) = (9 − 1)/2 = 4 = 2c।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।