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सारणिक – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 4। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

सारणिक वर्ग आव्यूह से जुड़ी एक संख्या है। यह त्रिभुजों का क्षेत्रफल देता है, व्युत्क्रमणीयता जाँचता है और आव्यूह विधि से रैखिक निकाय हल करता है।

मान और गुण

2 × 2 का |A|: ad − bc; 3 × 3 का पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश सहखंडों Aᵢⱼ = (−1)^(i+j)Mᵢⱼ से प्रसार।
दो पंक्तियाँ बदलने पर चिह्न बदलता है; दो समान पंक्तियाँ ⇒ 0; कोटि n हेतु |kA| = kⁿ|A|।
|AB| = |A||B|; |A′| = |A|।

प्रतिलोम और अनुप्रयोग

A⁻¹ = adj A / |A| (केवल |A| ≠ 0 पर); A(adj A) = |A|I; |adj A| = |A|ⁿ⁻¹।
निकाय AX = B: |A| ≠ 0 हो तो अद्वितीय हल X = A⁻¹B।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|; शून्य क्षेत्रफल ⇒ संरेख बिंदु।

मुख्य शब्द

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह: शून्य सारणिक वाला वर्ग आव्यूह
सहखंडज: सहखंड आव्यूह का परिवर्त
सहखंड: Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ, जहाँ Mᵢⱼ पंक्ति i और स्तंभ j हटाकर प्राप्त उपसारणिक है

सूत्र

A⁻¹ = adj A / |A|
|kA| = kⁿ|A|
|adj A| = |A|ⁿ⁻¹

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

यदि |2 4; 5 1| = |2x 4; 6 x|, तो x ज्ञात कीजिए।2 अंक

2 − 20 = 2x² − 24, अतः 2x² = 6, x = ±√3।

सारणिक से जाँचिए कि (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेख हैं या नहीं।3 अंक

½|1(3 + 11) + 2(−11 − 5) + (−2)(5 − 3)| = ½|14 − 32 − 4| = 11 ≠ 0। संरेख नहीं।

आव्यूह विधि से हल कीजिए: x + y + z = 6, y + 3z = 11, x − 2y + z = 0।5 अंक

A = [1 1 1; 0 1 3; 1 −2 1], B = [6; 11; 0]। |A| = 1(1 + 6) − 1(0 − 3) + 1(0 − 1) = 7 + 3 − 1 = 9 ≠ 0, अतः अद्वितीय हल। सहखंडों से adj A = [7 −3 2; 3 0 −3; −1 3 1]। X = A⁻¹B = (1/9)[42 − 33 + 0; 18 + 0 − 0; −6 + 33 + 0] = (1/9)[9; 18; 27] = [1; 2; 3]। अतः x = 1, y = 2, z = 3 (जाँच: 1 + 2 + 3 = 6 ✓)।

त्वरित पुनरावृत्ति

अव्युत्क्रमणीय ⇒ प्रतिलोम नहीं।
पंक्तियाँ बदलने पर चिह्न बदलता है।
संरेख बिंदुओं का क्षेत्रफल शून्य।

परीक्षा सुझाव

यदि |A| = 0 और (adj A)B ≠ 0, तो निकाय असंगत है।
3 × 3 सारणिक का प्रसार करने से पहले पंक्ति/स्तंभ संक्रियाओं से शून्य बनाएँ; सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें।

अभ्यास MCQ

|2 3; 1 4| का मान है
1. 8
2. 11
3. 5
4. −5
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 5. 8 − 3।
शून्य सारणिक वाला आव्यूह है
1. व्युत्क्रमणीय
2. तत्समक
3. अव्युत्क्रमणीय
4. सममित
उत्तर देखें
उत्तर: (c) अव्युत्क्रमणीय. अव्युत्क्रमणीय।
यदि A 3 × 3 है और |A| = 4, तो |2A| है
1. 8
2. 16
3. 32
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 32. 2³ × 4।
सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों तो मान है
1. 1
2. दुगुना
3. −1
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 0. गुणधर्म।
यदि 2 × 2 आव्यूह हेतु |A| = 3, तो |A⁻¹| है
1. 3
2. 9
3. 1/3
4. −3
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 1/3. |A⁻¹| = 1/|A|।
3 × 3 आव्यूह के लिए |A| = 5 हो तो |adj A| है
1. 5
2. 15
3. 125
4. 25
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 25. |A|² = 25।
शीर्षों (0, 0), (4, 0), (0, 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है
1. 12
2. 3.5
3. 7
4. 6
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 6. ½ × 4 × 3।
|1 a b+c; 1 b c+a; 1 c a+b| का मान है
1. abc
2. a + b + c
3. 0
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 0. C₃ → C₃ + C₂ से दो समान स्तंभ।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।