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आव्यूह – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 3। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

आव्यूह संख्याओं की आयताकार व्यवस्था है। आव्यूहों को जोड़ा, गुणा और परिवर्तित किया जाता है, और इनसे समीकरण निकाय हल होते हैं।

प्रकार और संक्रियाएँ

कोटि m × n; वर्ग, विकर्ण, अदिश, तत्समक (I), शून्य आव्यूह।
योग हेतु समान कोटि; AB हेतु A के स्तंभ = B की पंक्तियाँ; सामान्यतः AB ≠ BA।
परिवर्त: (AB)′ = B′A′; सममित A′ = A; विषम-सममित A′ = −A (विकर्ण अवयव शून्य)।

उपयोगी तथ्य

हर वर्ग आव्यूह = सममित भाग ½(A + A′) + विषम-सममित भाग ½(A − A′)।
{0, 1} अवयवों वाले m × n आव्यूहों की संख्या = 2^(mn)।
AI = IA = A; प्रतिलोम केवल शून्येतर सारणिक वाले वर्ग आव्यूह का।

मुख्य शब्द

सममित आव्यूह: अपने परिवर्त के बराबर वर्ग आव्यूह
विषम-सममित आव्यूह: A′ = −A वाला वर्ग आव्यूह
प्रारंभिक संक्रियाएँ: पंक्ति या स्तंभ विनिमय, शून्येतर संख्या से गुणा, और एक पंक्ति/स्तंभ के गुणज को दूसरी में जोड़ना

सूत्र

(AB)′ = B′A′
A = ½(A + A′) + ½(A − A′)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

यदि [x + y, 2; 5, x − y] = [6, 2; 5, 2], तो x और y ज्ञात कीजिए।2 अंक

x + y = 6 और x − y = 2, अतः x = 4, y = 2।

A = [3 5; 1 −1] को सममित और विषम-सममित आव्यूहों के योग के रूप में लिखिए।3 अंक

A′ = [3 1; 5 −1]। P = ½(A + A′) = [3 3; 3 −1] (सममित)। Q = ½(A − A′) = [0 2; −2 0] (विषम-सममित)। A = P + Q।

यदि A = [1 2; 3 4], तो दिखाइए कि A² − 5A − 2I = 0, और इससे A⁻¹ ज्ञात कीजिए।5 अंक

A² = [1 + 6, 2 + 8; 3 + 12, 6 + 16] = [7 10; 15 22]। 5A = [5 10; 15 20]। A² − 5A = [2 0; 0 2] = 2I, अतः A² − 5A − 2I = 0। A⁻¹ से गुणा: A − 5I − 2A⁻¹ = 0, अतः A⁻¹ = ½(A − 5I) = ½[−4 2; 3 −1] = [−2 1; 3/2 −1/2]। जाँच: AA⁻¹ = [1 0; 0 1]।

त्वरित पुनरावृत्ति

आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं।
विषम-सममित आव्यूह का विकर्ण शून्य।
(A′)′ = A।

परीक्षा सुझाव

गुणा से पहले कोटि जाँचें: (2 × 3)(3 × 4) से 2 × 4।
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ और (AB)′ = B′A′; आव्यूह गुणन साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं।

अभ्यास MCQ

2 पंक्तियों और 3 स्तंभों वाले आव्यूह की कोटि है
1. 3 × 2
2. 6
3. 2 × 3
4. 5
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2 × 3. पंक्तियाँ × स्तंभ।
किसी वर्ग आव्यूह A के लिए AI बराबर है
1. I
2. A′
3. 0
4. A
उत्तर देखें
उत्तर: (d) A. तत्समक।
यदि A 2 × 3 और B 3 × 4 है, तो AB है
1. 2 × 4
2. 3 × 3
3. 4 × 2
4. परिभाषित नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2 × 4. बाहरी कोटियाँ।
विषम-सममित आव्यूह के विकर्ण अवयव हैं
1. 0
2. 1
3. कोई भी संख्या
4. बराबर
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 0. aᵢᵢ = −aᵢᵢ।
यदि A = [2 0; 0 3], तो A² है
1. [2 0; 0 3]
2. [4 0; 0 6]
3. [4 0; 0 9]
4. [0 4; 9 0]
उत्तर देखें
उत्तर: (c) [4 0; 0 9]. विकर्ण का वर्ग।
0 या 1 अवयवों वाले 2 × 2 आव्यूहों की संख्या है
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 16. 2⁴।
(AB)′ बराबर है
1. A′B′
2. AB
3. B′A′
4. BA
उत्तर देखें
उत्तर: (c) B′A′. उत्क्रम नियम।
यदि 3 × 3 आव्यूह A में A² = A, तो (I − A)² बराबर है
1. I
2. A
3. 0
4. I − A
उत्तर देखें
उत्तर: (d) I − A. I − 2A + A² = I − A।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।