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प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 2। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

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अध्याय का सार

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन अनुपातों से कोण देते हैं। हर एक सीमित मुख्य-मान शाखा पर परिभाषित है ताकि वह फलन हो।

मुख्य मान शाखाएँ

sin⁻¹x: प्रांत [−1, 1], परिसर [−π/2, π/2]; cos⁻¹x: [−1, 1] → [0, π]; tan⁻¹x: ℝ → (−π/2, π/2)।
sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x; cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x; tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x।

सर्वसमिकाएँ

sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2; tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2।
xy < 1 हेतु tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x + y)/(1 − xy)]।
|x| < 1 हेतु 2tan⁻¹x = tan⁻¹[2x/(1 − x²)]।

मुख्य शब्द

मुख्य मान: मुख्य शाखा के भीतर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मान
मुख्य मान शाखा: वह सीमित परिसर जिस पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन परिभाषित है, जैसे sin⁻¹ हेतु [−π/2, π/2]
sin⁻¹ और cos⁻¹ का प्रांत: [−1, 1], क्योंकि sine और cosine के मान केवल इसी अंतराल में होते हैं

सूत्र

sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x + y)/(1 − xy)]

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

cos⁻¹(−1/√2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।2 अंक

cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x, अतः π − π/4 = 3π/4।

सिद्ध कीजिए कि 2 tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/7) = tan⁻¹(31/17)।3 अंक

2 tan⁻¹(1/2) = tan⁻¹[(2 × 1/2)/(1 − 1/4)] = tan⁻¹(4/3)। फिर tan⁻¹(4/3) + tan⁻¹(1/7) = tan⁻¹[(4/3 + 1/7)/(1 − 4/21)] = tan⁻¹[(31/21)/(17/21)] = tan⁻¹(31/17)।

tan⁻¹[√((1 − cos x)/(1 + cos x))], 0 < x < π, को सरलतम रूप में लिखिए, और tan⁻¹(2x) + tan⁻¹(3x) = π/4 हल कीजिए।5 अंक

(1 − cos x)/(1 + cos x) = tan²(x/2), और 0 < x < π हेतु x/2 ∈ (0, π/2) तथा tan(x/2) > 0, अतः व्यंजक = x/2। समीकरण: tan⁻¹[(5x)/(1 − 6x²)] = π/4, अतः 5x = 1 − 6x², 6x² + 5x − 1 = 0, (6x − 1)(x + 1) = 0, x = 1/6 या −1। x = −1 पर दोनों पद ऋणात्मक (योग π/4 नहीं हो सकता), अतः x = 1/6।

त्वरित पुनरावृत्ति

sin⁻¹ का परिसर [−π/2, π/2]।
cos⁻¹ का परिसर [0, π]।
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2।

परीक्षा सुझाव

सदा जाँचें कि उत्तर मुख्य परिसर में है (जैसे cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3, 4π/3 नहीं)।
पहले एक ही फलन में बदलें: x > 0 हेतु cot⁻¹x = tan⁻¹(1/x), sec⁻¹x = cos⁻¹(1/x)।

अभ्यास MCQ

sin⁻¹(1/2) का मुख्य मान है
1. π/6
2. π/3
3. π/4
4. 5π/6
उत्तर देखें
उत्तर: (a) π/6. sin π/6 = 1/2।
cos⁻¹x का परिसर है
1. [−π/2, π/2]
2. [0, π]
3. (0, π)
4. ℝ
उत्तर देखें
उत्तर: (b) [0, π]. मुख्य शाखा।
cos⁻¹(−1/2) बराबर है
1. π/3
2. −π/3
3. 2π/3
4. 5π/6
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2π/3. π − π/3।
sin⁻¹(0.3) + cos⁻¹(0.3) बराबर है
1. 0
2. π/2
3. π
4. 0.6
उत्तर देखें
उत्तर: (b) π/2. सर्वसमिका।
tan⁻¹(√3) − sec⁻¹(−2) बराबर है
1. −π/3
2. π/3
3. π
4. 2π/3
उत्तर देखें
उत्तर: (a) −π/3. π/3 − 2π/3।
tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) बराबर है
1. π/6
2. π/4
3. π/3
4. π/2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) π/4. (5/6)/(1 − 1/6) = 1।
cos⁻¹(cos 7π/6) का मुख्य मान है
1. 7π/6
2. −π/6
3. π/6
4. 5π/6
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 5π/6. [0, π] में होना चाहिए।
sin(cos⁻¹(3/5)) बराबर है
1. 3/5
2. 4/5
3. 5/4
4. 3/4
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4/5. समकोण त्रिभुज 3-4-5।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।