होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 12 गणित › संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 1। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

संबंध समुच्चयों के अवयवों को जोड़ते हैं; विशेष प्रकार (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक) तुल्यता संबंध बनाते हैं। फलन एकैकी, आच्छादक या दोनों (एकैकी आच्छादी) हो सकते हैं।

संबंध

स्वतुल्य: सभी a हेतु (a, a) ∈ R; सममित: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R; संक्रामक: (a, b), (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R।
तुल्यता संबंध = स्वतुल्य + सममित + संक्रामक; यह समुच्चय को तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है।

फलन

एकैकी: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂; आच्छादक: परिसर = सहप्रांत।
एकैकी आच्छादी फलनों के प्रतिलोम होते हैं; संयोजन (g∘f)(x) = g(f(x))।
A (m अवयव) से B (n अवयव) में फलनों की संख्या = nᵐ; एकैकी फलन (m ≤ n) = ⁿPₘ।

मुख्य शब्द

तुल्यता संबंध: स्वतुल्य, सममित और संक्रामक संबंध
एकैकी आच्छादी: एकैकी और आच्छादक दोनों फलन
व्युत्क्रमणीय फलन: वह फलन f जिसके लिए g हो कि g∘f = तत्समक और f∘g = तत्समक; ठीक तब होता है जब f एकैकी आच्छादी हो

सूत्र

A → B फलन: nᵐ
(g∘f)(x) = g(f(x))

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

जाँचिए कि f: ℕ → ℕ, f(x) = 2x एकैकी और आच्छादक है या नहीं।2 अंक

एकैकी: 2x₁ = 2x₂ से x₁ = x₂। आच्छादक नहीं: 1 जैसी विषम संख्याओं का ℕ में पूर्व-प्रतिबिंब नहीं।

दिखाइए कि ℤ पर R = {(a, b): a − b, 5 से विभाज्य है} तुल्यता संबंध है।3 अंक

दिखाइए कि f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 3 व्युत्क्रमणीय है और f⁻¹ ज्ञात कीजिए। (f∘f)(x) भी ज्ञात कीजिए और f∘f⁻¹ = I सत्यापित कीजिए।5 अंक

एकैकी: 4x₁ + 3 = 4x₂ + 3 ⇒ x₁ = x₂। आच्छादक: किसी y ∈ ℝ हेतु x = (y − 3)/4 ∈ ℝ से f(x) = y। अतः f एकैकी आच्छादी और व्युत्क्रमणीय, f⁻¹(y) = (y − 3)/4। (f∘f)(x) = 4(4x + 3) + 3 = 16x + 15। f(f⁻¹(y)) = 4 × (y − 3)/4 + 3 = y, अतः f∘f⁻¹ = I।

त्वरित पुनरावृत्ति

तुल्यता = स्वतुल्य + सममित + संक्रामक।
केवल एकैकी आच्छादी व्युत्क्रमणीय।
आच्छादक: सहप्रांत के हर अवयव का पूर्व-प्रतिबिंब।

परीक्षा सुझाव

ℝ पर f(x) = x² एकैकी नहीं (f(2) = f(−2)); ℕ पर है।
आच्छादकता दिखाने हेतु सहप्रांत का कोई y लेकर प्रांत के अंदर f(x) = y को x हेतु हल करें।

अभ्यास MCQ

स्वतुल्य, सममित और संक्रामक संबंध है
1. तत्समक
2. केवल सार्वत्रिक
3. रिक्त
4. तुल्यता
उत्तर देखें
उत्तर: (d) तुल्यता. तुल्यता संबंध।
f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 है
1. केवल एकैकी
2. केवल आच्छादक
3. एकैकी आच्छादी
4. कोई नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: (c) एकैकी आच्छादी. शून्येतर ढाल वाला रैखिक।
ℝ से ℝ में f(x) = x² है
1. एकैकी
2. आच्छादक
3. न एकैकी न आच्छादक
4. एकैकी आच्छादी
उत्तर देखें
उत्तर: (c) न एकैकी न आच्छादक. f(1) = f(−1) और ऋणात्मकों का पूर्व-प्रतिबिंब नहीं।
यदि f(x) = x + 1 और g(x) = 2x, तो (g∘f)(3) है
1. 7
2. 6
3. 8
4. 10
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 8. g(4) = 8।
3 अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या है
1. 2⁶
2. 2⁹
3. 2³
4. 3²
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2⁶. विकर्ण स्थिर; अन्य 6 युग्म स्वतंत्र।
3 अवयवों वाले समुच्चय से 2 अवयवों वाले समुच्चय में फलनों की संख्या है
1. 6
2. 9
3. 8
4. 5
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 8. 2³।
{1, 2, 3} पर R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)} संबंध है
1. स्वतुल्य व संक्रामक पर सममित नहीं
2. तुल्यता
3. केवल सममित
4. स्वतुल्य नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: (a) स्वतुल्य व संक्रामक पर सममित नहीं. (2, 1) अनुपस्थित।
यदि f(x) = (3x + 2)/(x − 1), x ≠ 1, तो f⁻¹(x) है
1. (x + 3)/(x − 2)
2. (x − 2)/(x + 3)
3. (x + 2)/(x − 3)
4. (3x − 2)/(x + 1)
उत्तर देखें
उत्तर: (c) (x + 2)/(x − 3). y = (3x + 2)/(x − 1) को x हेतु हल करें।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।