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त्रिविमीय ज्यामिति – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 11। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

अंतरिक्ष में रेखाएँ दिक्-अनुपातों से सदिश और कार्तीय समीकरणों में लिखी जाती हैं। रेखाओं के बीच कोण और न्यूनतम दूरियाँ सदिशों से निकलती हैं।

रेखाएँ

दिक्-कोसाइन l, m, n (l² + m² + n² = 1); दिक्-अनुपात a, b, c इनके समानुपाती।
बिंदु a से b के समांतर रेखा: r = a + λb; कार्तीय (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c।
दो बिंदुओं से रेखा: (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (z − z₁)/(z₂ − z₁)।

कोण और दूरियाँ

रेखाओं के बीच कोण: cos θ = |a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²) √(a₂² + b₂² + c₂²))।
लंबवत रेखाएँ: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0।
विषमतलीय रेखाओं r = a₁ + λb₁, r = a₂ + µb₂ के बीच न्यूनतम दूरी: |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|।

मुख्य शब्द

विषमतलीय रेखाएँ: न समांतर न प्रतिच्छेदी रेखाएँ
दिक्-अनुपात: रेखा के दिक्-कोसाइनों के समानुपाती संख्याएँ
समतलीय रेखाएँ: एक ही तल में स्थित रेखाएँ; दो रेखाएँ समतलीय हैं यदि वे प्रतिच्छेदी या समांतर हों

सूत्र

l² + m² + n² = 1
न्यूनतम दूरी = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

(2, 3, −1) और (5, −1, 11) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।2 अंक

दिक्-अनुपात: (3, −4, 12); लंबाई √(9 + 16 + 144) = 13। दिक्-कोसाइन: 3/13, −4/13, 12/13।

(5, 2, −4) से जाने वाली और 3î + 2ĵ − 8k̂ के समांतर रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।3 अंक

सदिश: r = 5î + 2ĵ − 4k̂ + λ(3î + 2ĵ − 8k̂)। कार्तीय: (x − 5)/3 = (y − 2)/2 = (z + 4)/(−8)।

रेखाओं r = î + 2ĵ + k̂ + λ(î − ĵ + k̂) और r = 2î − ĵ − k̂ + µ(2î + ĵ + 2k̂) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।5 अंक

a₂ − a₁ = î − 3ĵ − 2k̂। b₁ × b₂ = |î ĵ k̂; 1 −1 1; 2 1 2| = (−2 − 1)î − (2 − 2)ĵ + (1 + 2)k̂ = −3î + 3k̂। |b₁ × b₂| = 3√2। (a₂ − a₁)·(b₁ × b₂) = −3 + 0 − 6 = −9। न्यूनतम दूरी = |−9|/(3√2) = 3/√2 = (3√2)/2 इकाई।

त्वरित पुनरावृत्ति

विषमतलीय रेखाएँ केवल 3D में।
लंबवत ⇒ DR गुणनफलों का योग = 0।
x-अक्ष के दिक्-कोसाइन: 1, 0, 0।

परीक्षा सुझाव

समांतर रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं।
समांतर रेखाओं r = a₁ + λb और r = a₂ + µb के बीच न्यूनतम दूरी हेतु |b × (a₂ − a₁)|/|b| लें।

अभ्यास MCQ

y-अक्ष के दिक्-कोसाइन हैं
1. 1, 0, 0
2. 0, 0, 1
3. 0, 1, 0
4. 1, 1, 0
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 0, 1, 0. ĵ के अनुदिश।
दिक्-कोसाइन l, m, n के लिए l² + m² + n² बराबर है
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1. सर्वसमिका।
DR (1, 2, 3) और (2, −1, 0) वाली रेखाएँ हैं
1. समांतर
2. लंबवत
3. एक ही
4. 45° पर
उत्तर देखें
उत्तर: (b) लंबवत. 2 − 2 + 0 = 0।
DR (1, 2, 2) और (2, 4, 4) वाली रेखाएँ हैं
1. लंबवत
2. 60° पर
3. सदा विषमतलीय
4. समांतर
उत्तर देखें
उत्तर: (d) समांतर. समानुपाती।
दिक्-अनुपात (1, 1, 0) और (1, 0, 1) वाली रेखाओं के बीच कोण है
1. 30°
2. 45°
3. 60°
4. 90°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 60°. cos θ = 1/2।
DR (2, −1, 2) वाली रेखा के दिक्-कोसाइन हैं
1. (2, −1, 2)
2. (2/9, −1/9, 2/9)
3. (1/3, 1/3, 1/3)
4. (2/3, −1/3, 2/3)
उत्तर देखें
उत्तर: (d) (2/3, −1/3, 2/3). 3 से भाग।
न समांतर न प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं
1. समतलीय
2. संपाती
3. संगामी
4. विषमतलीय
उत्तर देखें
उत्तर: (d) विषमतलीय. विषमतलीय रेखाएँ।
रेखा (x − 1)/2 = (y + 1)/3 = (z − 2)/4 गुज़रती है
1. (1, −1, 2) से
2. (2, 3, 4) से
3. (−1, 1, −2) से
4. (0, 0, 0) से
उत्तर देखें
उत्तर: (a) (1, −1, 2) से. λ = 0 रखें।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।