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रैखिक प्रोग्रामन – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 12। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

रैखिक प्रोग्रामन रैखिक असमिकाओं (व्यवरोधों) के अंतर्गत रैखिक उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम कोने-बिंदु विधि से ढूँढता है।

सूत्रीकरण

निर्णय चर (x, y ≥ 0), उद्देश्य फलन Z = ax + by, और व्यवरोध (रैखिक असमिकाएँ)।
सुसंगत क्षेत्र सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ क्षेत्र है।

कोने-बिंदु विधि

इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोने (शीर्ष) पर मिलता है।
हर कोने पर Z निकालें; अधिकतम हेतु सबसे बड़ा, न्यूनतम हेतु सबसे छोटा चुनें।
अपरिबद्ध क्षेत्र में अतिरिक्त असमिका से इष्टतम का अस्तित्व जाँचें।

मुख्य शब्द

सुसंगत क्षेत्र: सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय
उद्देश्य फलन: अधिकतम या न्यूनतम किया जाने वाला रैखिक फलन
कोने का बिंदु (शीर्ष): सुसंगत क्षेत्र का वह बिंदु जहाँ दो सीमा रेखाएँ मिलती हैं

सूत्र

Z = ax + by

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

LPP में निर्णय चर, उद्देश्य फलन और व्यवरोध क्या हैं?2 अंक

निर्णय चर वे राशियाँ हैं जिनका निर्णय करना है (x, y ≥ 0); उद्देश्य फलन अधिकतम या न्यूनतम किया जाने वाला रैखिक व्यंजक है (Z = ax + by); व्यवरोध वे रैखिक असमिकाएँ हैं जिन्हें चरों को संतुष्ट करना है।

x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x, y ≥ 0 के अंतर्गत Z = 3x + 2y न्यूनतम कीजिए।3 अंक

x + y ≥ 8 वाले बिंदु x + y = 8 पर या ऊपर हैं, पर 3x + 5y ≤ 15 केवल मूल बिंदु के निकट (x ≤ 5, y ≤ 3) बिंदु देता है। कोई बिंदु दोनों को संतुष्ट नहीं करता, अतः सुसंगत क्षेत्र रिक्त है और कोई हल नहीं।

एक व्यापारी पंखे (₹360 प्रत्येक) और सिलाई मशीनें (₹240 प्रत्येक) ख़रीदना चाहता है। उसके पास ₹5,760 और अधिकतम 20 वस्तुओं की जगह है। पंखे पर ₹22 और मशीन पर ₹18 लाभ है। अधिकतम लाभ हेतु प्रत्येक कितने ख़रीदे?5 अंक

x पंखे, y मशीनें। Z = 22x + 18y अधिकतम करें, जहाँ x + y ≤ 20, 360x + 240y ≤ 5760 (अर्थात 3x + 2y ≤ 48), x, y ≥ 0। कोने: (0, 0): 0; (16, 0): 352; (0, 20): 360; x + y = 20 और 3x + 2y = 48 के प्रतिच्छेद से x = 8, y = 12: Z = 176 + 216 = 392। 8 पंखे और 12 सिलाई मशीनें ख़रीदकर अधिकतम लाभ ₹392।

त्वरित पुनरावृत्ति

इष्टतम कोने बिंदु पर।
सुसंगत क्षेत्र उत्तल होता है।
परिबद्धता जाँचें।

परीक्षा सुझाव

अऋणात्मकता व्यवरोध x ≥ 0, y ≥ 0 सदा शामिल करें।
अपरिबद्ध क्षेत्र में किसी कोने पर अधिकतम M हो, तो स्वीकार करने से पहले जाँचें कि ax + by > M का क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।

अभ्यास MCQ

LPP में इष्टतम किया जाने वाला फलन है
1. व्यवरोध
2. स्लैक
3. सुसंगत क्षेत्र
4. उद्देश्य फलन
उत्तर देखें
उत्तर: (d) उद्देश्य फलन. उद्देश्य।
Z का इष्टतम मान मिलता है
1. सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदु पर
2. किसी भी आंतरिक बिंदु पर
3. केवल मूल बिंदु पर
4. अनंत पर
उत्तर देखें
उत्तर: (a) सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदु पर. कोने-बिंदु प्रमेय।
कोनों (0, 0), (4, 0), (2, 3), (0, 4) पर Z = 3x + 2y का अधिकतम है
1. 13
2. 12
3. 8
4. 10
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 12. (2, 3) पर 12, (4, 0) पर 12, (0, 4) पर 8; अधिकतम 12।
x ≥ 0, y ≥ 0 संतुष्ट करने वाला क्षेत्र है
1. चतुर्थांश I
2. चतुर्थांश II
3. चतुर्थांश III
4. चतुर्थांश IV
उत्तर देखें
उत्तर: (a) चतुर्थांश I. दोनों अऋणात्मक।
कौन-सा बिंदु क्षेत्र x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 में है
1. (3, 2)
2. (0, 5)
3. (5, 0)
4. (1, 2)
उत्तर देखें
उत्तर: (d) (1, 2). 1 + 2 = 3 ≤ 4।
कोनों (0, 4), (2, 1), (5, 0) पर Z = 2x + 5y का न्यूनतम है
1. 9
2. 10
3. 20
4. 7
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 9. (2, 1) पर 4 + 5 = 9।
यदि Z का अधिकतम दो कोनों पर समान हो, तो
1. कोई हल नहीं
2. उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का हर बिंदु इष्टतम
3. LPP अपरिबद्ध
4. केवल एक कोना मान्य
उत्तर देखें
उत्तर: (b) उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का हर बिंदु इष्टतम. अनेक इष्टतम हल।
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x, y ≥ 0 के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतम है
1. 235/19
2. 10
3. 9
4. 15
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 235/19. (20/19, 45/19) पर।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।