होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 12 गणित › प्रायिकता

प्रायिकता – कक्षा 12 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 12 गणित, अध्याय 13। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

Read in English

अध्याय का सार

सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम, बेज़ प्रमेय और प्रायिकता बंटन तब काम आते हैं जब घटनाएँ एक-दूसरे पर निर्भर हों।

सप्रतिबंध प्रायिकता और स्वतंत्रता

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), P(B) ≠ 0।
गुणन नियम: P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)।
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)P(B)।

संपूर्ण प्रायिकता, बेज़ और बंटन

संपूर्ण प्रायिकता: P(A) = Σ P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)।
बेज़ प्रमेय: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)।
यादृच्छिक चर X: माध्य E(X) = Σ xᵢpᵢ; प्रसरण = E(X²) − [E(X)]²।

मुख्य शब्द

सप्रतिबंध प्रायिकता: B के घटित होने पर A की प्रायिकता
स्वतंत्र घटनाएँ: जिनमें एक दूसरी की प्रायिकता प्रभावित न करे
द्विपद बंटन: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों हेतु P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ

सूत्र

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
बेज़: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)/ΣP(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।2 अंक

P(A ∩ B) = 0.3। P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8।

न्याय्य सिक्के के दो उछालों में चितों की संख्या का माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।3 अंक

X = 0, 1, 2 और P = 1/4, 1/2, 1/4। माध्य = 0 + 1/2 + 2/4 = 1। E(X²) = 0 + 1/2 + 4/4 = 3/2। प्रसरण = 3/2 − 1 = 1/2।

एक कारखाने में मशीन A, B और C क्रमशः 50%, 30% और 20% बोल्ट बनाती हैं, जिनमें क्रमशः 2%, 3% और 4% दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक चुना बोल्ट दोषपूर्ण है। इसके मशीन B द्वारा बनाए जाने की प्रायिकता क्या है?5 अंक

P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2; P(D|A) = 0.02, P(D|B) = 0.03, P(D|C) = 0.04। P(D) = 0.010 + 0.009 + 0.008 = 0.027। बेज़ प्रमेय से P(B|D) = 0.009/0.027 = 1/3।

त्वरित पुनरावृत्ति

स्वतंत्र ⇒ प्रायिकताएँ गुणा।
परस्पर अपवर्जी ≠ स्वतंत्र।
बेज़ सप्रतिबंध प्रायिकता उलटता है।

परीक्षा सुझाव

बेज़ प्रमेय प्रश्नों में वृक्ष आरेख बनाएँ।
बेज़ प्रश्नों में प्रतिस्थापन से पहले घटनाएँ Eᵢ, पूर्व प्रायिकताएँ P(Eᵢ) और P(A|Eᵢ) एक छोटी तालिका में लिखें।

अभ्यास MCQ

यदि P(A ∩ B) = 0.2 और P(B) = 0.5, तो P(A|B) है
1. 0.1
2. 0.7
3. 0.4
4. 0.25
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 0.4. 0.2/0.5।
स्वतंत्र A, B में P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 हो तो P(A ∩ B) है
1. 0.7
2. 0.34
3. 0.1
4. 0.12
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 0.12. 0.3 × 0.4।
पासा फेंका गया। संख्या सम है, यह दिया हो तो उसके 3 से बड़ी होने की प्रायिकता है
1. 1/2
2. 1/3
3. 2/3
4. 1/6
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2/3. {2, 4, 6} में से {4, 6}।
X के मान 0, 1, 2 और प्रायिकताएँ 1/4, 1/2, 1/4 हों तो माध्य है
1. 0.5
2. 1
3. 1.5
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1. 0 + 1/2 + 1/2।
पासा दो बार फेंका गया। P(योग = 7 | पहली बार 3) है
1. 1/6
2. 1/36
3. 1/12
4. 1/3
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1/6. दूसरी बार 4 आना चाहिए।
थैले I में 3 लाल, 4 काली; थैले II में 5 लाल, 6 काली गेंदें। यादृच्छिक थैले से लाल गेंद निकली। उसके थैले I से होने की प्रायिकता है
1. 33/68
2. 35/68
3. 1/2
4. 3/7
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 33/68. (½·3/7)/(½·3/7 + ½·5/11) = 33/68।
गड्डी से बिना प्रतिस्थापन दो पत्ते निकाले। P(दोनों बादशाह) है
1. 1/169
2. 1/221
3. 1/13
4. 4/52
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1/221. (4/52)(3/51)।
सिक्का 4 बार उछाला गया। P(ठीक 2 चित) है
1. 1/4
2. 1/16
3. 1/2
4. 3/8
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3/8. ⁴C₂/16 = 6/16।

सभी अध्याय: कक्षा 12 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।