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त्रिकोणमितीय फलन – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 3। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

कोण अंश या रेडियन में मापे जाते हैं। त्रिकोणमितीय फलन इकाई वृत्त से सभी वास्तविक संख्याओं तक विस्तारित होते हैं, और योग, अंतर व गुणज कोण सर्वसमिकाएँ होती हैं।

माप और चिह्न

π रेडियन = 180°; चाप लंबाई l = rθ (θ रेडियन में)।
चिह्न: Q1 में सभी धनात्मक, Q2 में sin, Q3 में tan, Q4 में cos।
आवर्तकाल: sin और cos 2π, tan π।

सर्वसमिकाएँ

sin²x + cos²x = 1; 1 + tan²x = sec²x; 1 + cot²x = cosec²x।
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B; cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B।
sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x; sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x।

मुख्य शब्द

रेडियन: त्रिज्या के बराबर चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण
आवर्तकाल: न्यूनतम धनात्मक मान जिसके बाद फलन दोहराता है
संबद्ध कोण: (90° ± θ), (180° ± θ), (270° ± θ), (360° − θ) जैसे कोण जिनके अनुपात θ से लिखे जाते हैं

सूत्र

l = rθ
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 1 − 2sin²x

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

tan 15° का मान ज्ञात कीजिए।2 अंक

tan(45° − 30°) = (1 − 1/√3)/(1 + 1/√3) = (√3 − 1)/(√3 + 1) = 2 − √3।

सिद्ध कीजिए कि sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x।3 अंक

sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos²x + (1 − 2 sin²x) sin x = 2 sin x(1 − sin²x) + sin x − 2 sin³x = 3 sin x − 4 sin³x।

सिद्ध कीजिए कि cos 4x = 1 − 8 sin²x cos²x, और sin 2x − sin 4x + sin 6x = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।5 अंक

cos 4x = 1 − 2 sin²2x = 1 − 2(2 sin x cos x)² = 1 − 8 sin²x cos²x। समीकरण: sin 6x + sin 2x = 2 sin 4x cos 2x, अतः 2 sin 4x cos 2x − sin 4x = 0, sin 4x(2 cos 2x − 1) = 0। sin 4x = 0 से x = nπ/4; cos 2x = 1/2 से 2x = 2nπ ± π/3, x = nπ ± π/6।

त्वरित पुनरावृत्ति

π rad = 180°।
चिह्नों हेतु ASTC नियम।
tan का आवर्तकाल π।

परीक्षा सुझाव

व्यापक हल: sin x = 0 ⇒ x = nπ; cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1)π/2।
(90° ± θ) या (270° ± θ) में अनुपात बदलता है (sin ↔ cos, tan ↔ cot); (180° ± θ) या (360° ± θ) में वही रहता है; चिह्न चतुर्थांश से।

अभ्यास MCQ

60° रेडियन में है
1. π/3
2. π/6
3. π/4
4. 2π/3
उत्तर देखें
उत्तर: (a) π/3. 60 × π/180।
sin²θ + cos²θ बराबर है
1. 0
2. 1
3. 2
4. tan θ
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1. सर्वसमिका।
cos 75° बराबर है
1. (√6 + √2)/4
2. (√6 − √2)/4
3. √3/2
4. 1/2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (√6 − √2)/4. cos(45° + 30°)।
tan 210° का चिह्न है
1. अपरिभाषित
2. ऋणात्मक
3. शून्य
4. धनात्मक
उत्तर देखें
उत्तर: (d) धनात्मक. तृतीय चतुर्थांश।
sin 120° बराबर है
1. √3/2
2. 1/2
3. −1/2
4. −√3/2
उत्तर देखें
उत्तर: (a) √3/2. sin(180° − 60°)।
10 cm त्रिज्या के वृत्त में केंद्र पर 30° बनाने वाले चाप की लंबाई है
1. 3π cm
2. 10π cm
3. π/6 cm
4. 5π/3 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 5π/3 cm. 10 × π/6।
3 sin x + 4 cos x का अधिकतम मान है
1. 5
2. 7
3. 1
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5. √(9 + 16)।
cos 2x = 1/2 का व्यापक हल है
1. x = nπ ± π/3
2. x = nπ ± π/6
3. x = 2nπ ± π/3
4. x = nπ + π/6
उत्तर देखें
उत्तर: (b) x = nπ ± π/6. 2x = 2nπ ± π/3।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।