होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 11 गणित › सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 4। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

सम्मिश्र संख्याएँ a + ib वास्तविक संख्याओं का विस्तार हैं ताकि हर द्विघात समीकरण के मूल हों। इन्हें जोड़ा, गुणा, संयुग्मित किया और आर्गंड तल पर दिखाया जा सकता है।

बीजगणित

i = √−1, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1।
संयुग्मी z̄ = a − ib; मापांक |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²।
1/z = z̄/|z|²।

ध्रुवीय रूप और द्विघात

z = r(cos θ + i sin θ), r = |z|, θ = arg z।
ax² + bx + c = 0 के मूल: x = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a; D < 0 हो तो मूल सम्मिश्र संयुग्मी।
मूलों का योग = −b/a, गुणनफल = c/a।

मुख्य शब्द

मापांक: मूल बिंदु से z की दूरी, √(a² + b²)
संयुग्मी: z = a + ib हेतु a − ib
कोणांक: z को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा का धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण θ; मुख्य मान (−π, π] में

सूत्र

|z| = √(a² + b²)
x = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

(5 + 2i)/(1 − i) को a + ib रूप में लिखिए।2 अंक

(1 + i) से गुणा: (5 + 5i + 2i + 2i²)/2 = (3 + 7i)/2 = 3/2 + (7/2)i।

x² + 3x + 9 = 0 हल कीजिए।3 अंक

D = 9 − 36 = −27। x = (−3 ± √−27)/2 = (−3 ± 3√3 i)/2।

z = −1 + i√3 को ध्रुवीय रूप में बदलिए, और z² का मापांक व कोणांक ज्ञात कीजिए।5 अंक

r = √(1 + 3) = 2। बिंदु चतुर्थांश II में: tan α = √3, α = π/3, अतः θ = π − π/3 = 2π/3। z = 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3)। z² का मापांक r² = 4 और कोणांक 4π/3, जो मुख्य रूप में 4π/3 − 2π = −2π/3; z² = −2 − 2√3 i।

त्वरित पुनरावृत्ति

i² = −1।
सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में (वास्तविक गुणांक)।
z·z̄ = |z|²।

परीक्षा सुझाव

iⁿ हर 4 पर दोहराता है: n mod 4 निकालें।
सम्मिश्र संख्याओं के भाग हेतु अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।

अभ्यास MCQ

i² बराबर है
1. −1
2. 1
3. i
4. −i
उत्तर देखें
उत्तर: (a) −1. परिभाषा।
3 + 4i का मापांक है
1. 5
2. 7
3. 25
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5. √(9 + 16)।
i¹⁰⁵ बराबर है
1. i
2. 1
3. −1
4. −i
उत्तर देखें
उत्तर: (a) i. 105 mod 4 = 1।
2 − 5i का संयुग्मी है
1. 2 + 5i
2. −2 + 5i
3. −2 − 5i
4. 5 − 2i
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2 + 5i. काल्पनिक भाग का चिह्न बदलें।
(2 + 3i)(1 − i) बराबर है
1. 5 + i
2. −1 + 5i
3. 5 − i
4. 2 − 3i
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 5 + i. 2 − 2i + 3i + 3।
x² + x + 1 = 0 के मूल हैं
1. वास्तविक और समान
2. वास्तविक और भिन्न
3. सम्मिश्र संयुग्मी
4. शून्य
उत्तर देखें
उत्तर: (c) सम्मिश्र संयुग्मी. D = −3।
(1 + i)² बराबर है
1. 2i
2. 2
3. 0
4. 1 + 2i
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2i. 1 + 2i − 1।
3 + 4i का गुणनात्मक प्रतिलोम है
1. (3 − 4i)/25
2. (3 + 4i)/25
3. 3 − 4i
4. (3 − 4i)/5
उत्तर देखें
उत्तर: (a) (3 − 4i)/25. z̄/|z|²।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।