होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 11 गणित › सरल रेखाएँ

सरल रेखाएँ – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 9। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

निर्देशांक तल पर सरल रेखा उसकी ढाल और समीकरण से वर्णित होती है। दी गई जानकारी के अनुसार समीकरण के भिन्न रूप उपयुक्त होते हैं।

ढाल और रूप

ढाल m = tan θ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); समांतर रेखाएँ m₁ = m₂; लंबवत m₁m₂ = −1।
बिंदु–ढाल: y − y₁ = m(x − x₁); ढाल–अंतःखंड: y = mx + c; अंतःखंड रूप: x/a + y/b = 1।
व्यापक रूप Ax + By + C = 0 की ढाल −A/B।

दूरियाँ और कोण

रेखाओं के बीच कोण: tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|।
Ax + By + C = 0 से (x₁, y₁) की दूरी: |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)।
समांतर रेखाओं Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 के बीच दूरी: |C₁ − C₂|/√(A² + B²)।

मुख्य शब्द

ढाल: धनात्मक x-अक्ष से रेखा के कोण का tan
अंतःखंड: वह बिंदु जहाँ रेखा अक्ष को काटे
अभिलंब रूप: x cos ω + y sin ω = p, जहाँ p मूल बिंदु से लंब दूरी और ω उसका झुकाव है

सूत्र

y − y₁ = m(x − x₁)
d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

3x + 4y − 12 = 0 की ढाल और अंतःखंड ज्ञात कीजिए।2 अंक

ढाल = −3/4; x-अंतःखंड 4, y-अंतःखंड 3।

2x − 3y + 5 = 0 पर लंब और (1, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।3 अंक

दी रेखा की ढाल = 2/3, अतः वांछित ढाल = −3/2। y − 2 = −(3/2)(x − 1), अर्थात 3x + 2y − 7 = 0।

(−1, 3) से रेखा 3x − 4y − 16 = 0 पर लंब के पाद के निर्देशांक और लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।5 अंक

लंबाई = |3(−1) − 4(3) − 16|/5 = |−31|/5 = 31/5। पाद (h, k): रेखा पर है (3h − 4k = 16) और (−1, 3) से (h, k) की रेखा की ढाल −4/3 (ढाल 3/4 पर लंब): (k − 3)/(h + 1) = −4/3, अर्थात 4h + 3k = 5। 3h − 4k = 16 और 4h + 3k = 5 हल करने पर: h = 68/25, k = −49/25। पाद = (68/25, −49/25)।

त्वरित पुनरावृत्ति

समांतर ⇒ समान ढाल।
लंबवत ⇒ गुणनफल −1।
Ax + By + C = 0 की ढाल −A/B।

परीक्षा सुझाव

तीन बिंदु संरेख हैं यदि युग्मों के बीच ढालें बराबर हों।
लंब पाद या रेखा में बिंदु का प्रतिबिंब ज्ञात करने हेतु ढाल शर्त m₁m₂ = −1 और मध्य बिंदु का रेखा पर होना साथ लें।

अभ्यास MCQ

(1, 2) और (3, 6) से जाती रेखा की ढाल है
1. 2
2. 1
3. 4
4. ½
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2. 4/2।
y = 3x + 5 की ढाल है
1. 5
2. 3
3. −3
4. 1/3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 3. y = mx + c में m।
ढाल 2 वाली रेखा पर लंबवत रेखा की ढाल है
1. 2
2. −½
3. −2
4. ½
उत्तर देखें
उत्तर: (b) −½. m₁m₂ = −1।
अक्षों पर अंतःखंड 2 और 3 वाली रेखा का समीकरण है
1. 3x + 2y = 6
2. 2x + 3y = 6
3. x + y = 5
4. 3x − 2y = 6
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 3x + 2y = 6. x/2 + y/3 = 1।
(2, 3) से जाने वाली −1 ढाल की रेखा का समीकरण है
1. x + y = 5
2. x − y = −1
3. x + y = 1
4. y = −x
उत्तर देखें
उत्तर: (a) x + y = 5. y − 3 = −(x − 2)।
3x + 4y − 5 = 0 से (3, 4) की दूरी है
1. 4
2. 5
3. 20
4. 25
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 4. |9 + 16 − 5|/5।
3x + 4y = 5 और 3x + 4y = 15 के बीच दूरी है
1. 10
2. 1
3. 5
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 2. 10/5।
रेखाओं y = √3x + 5 और y = x/√3 − 2 के बीच कोण है
1. 30°
2. 45°
3. 60°
4. 90°
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 30°. झुकाव 60° और 30°।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।