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शंकु परिच्छेद – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 10। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय द्वि-शंकु को समतल से काटने पर बनने वाले वक्र हैं। हर एक का मानक समीकरण और नाभि व नियता जैसे मुख्य भाग हैं।

वृत्त और परवलय

वृत्त: (x − h)² + (y − k)² = r²; व्यापक रूप x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 का केंद्र (−g, −f), r = √(g² + f² − c)।
परवलय y² = 4ax: नाभि (a, 0), नियता x = −a, नाभिलंब 4a।
अन्य परवलय: y² = −4ax, x² = 4ay, x² = −4ay।

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय

दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², e = c/a < 1, नाभिलंब 2b²/a।
अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1।
उत्केंद्रता: वृत्त 0, परवलय 1।

मुख्य शब्द

उत्केंद्रता: शांकव की वृत्त से भिन्नता मापने वाला अनुपात
नाभिलंब: अक्ष पर लंबवत, नाभि से जाने वाली जीवा
नियता: वह स्थिर रेखा कि किसी बिंदु की नाभि से दूरी और इस रेखा से दूरी का अनुपात उत्केंद्रता के बराबर हो

सूत्र

दीर्घवृत्त c² = a² − b²
अतिपरवलय c² = a² + b²
परवलय नाभिलंब = 4a

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

x² = −16y का शीर्ष, नाभि और नियता ज्ञात कीजिए।2 अंक

रूप x² = −4ay, a = 4: शीर्ष (0, 0), नाभि (0, −4), नियता y = 4।

(2, −2) और (3, 4) से जाने वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र x + y = 2 पर है।3 अंक

केंद्र (h, 2 − h) मानें। समान दूरी: (h − 2)² + (4 − h)² = (h − 3)² + (h + 2)² (क्योंकि 2 − h − (−2) = 4 − h और 2 − h − 4 = −h − 2)। प्रसार करने पर: 2h² − 12h + 20 = 2h² − 2h + 13, अतः h = 0.7, केंद्र (0.7, 1.3)। r² = (1.3)² + (3.3)² = 1.69 + 10.89 = 12.58। समीकरण: (x − 0.7)² + (y − 1.3)² = 12.58।

अतिपरवलय 9y² − 4x² = 36 की नाभियाँ, शीर्ष, उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।5 अंक

36 से भाग: y²/4 − x²/9 = 1, अनुप्रस्थ अक्ष y के अनुदिश, a² = 4, b² = 9। c² = a² + b² = 13, c = √13। शीर्ष (0, ±2); नाभियाँ (0, ±√13); e = c/a = √13/2; नाभिलंब = 2b²/a = 18/2 = 9।

त्वरित पुनरावृत्ति

दीर्घवृत्त e < 1।
अतिपरवलय e > 1।
परवलय e = 1।

परीक्षा सुझाव

y² = 4ax में x के गुणांक को 4 से भाग देने पर a मिलता है।
पहले समीकरण मानक रूप में लिखें, तुलना कर a और b निकालें, फिर क्रम से c, e, नाभियाँ, शीर्ष और नाभिलंब ज्ञात करें।

अभ्यास MCQ

परवलय की उत्केंद्रता है
1. 0
2. 1 से कम
3. 1
4. 1 से अधिक
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 1. e = 1।
वृत्त (x − 2)² + (y + 3)² = 16 का केंद्र है
1. (2, 3)
2. (2, −3)
3. (−2, 3)
4. (4, 16)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (2, −3). (h, k)।
y² = 12x की नाभि है
1. (12, 0)
2. (3, 0)
3. (0, 3)
4. (4, 0)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (3, 0). 4a = 12।
x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 की त्रिज्या है
1. 4
2. 5
3. 25
4. √12
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 5. √(4 + 9 + 12)।
केंद्र (0, 0) और (3, 4) से जाने वाले वृत्त का समीकरण है
1. x² + y² = 5
2. x² + y² = 7
3. x² + y² = 25
4. x² + y² = 49
उत्तर देखें
उत्तर: (c) x² + y² = 25. r = 5।
x²/25 + y²/16 = 1 की उत्केंद्रता है
1. 5/3
2. 4/5
3. 3/5
4. 3/4
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 3/5. c = 3, a = 5।
x²/9 − y²/16 = 1 के नाभिलंब की लंबाई है
1. 32/3
2. 9/2
3. 16/3
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 32/3. 2b²/a = 32/3।
x²/16 + y²/9 = 1 की नाभियाँ हैं
1. (±5, 0)
2. (±√7, 0)
3. (0, ±√7)
4. (±4, 0)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (±√7, 0). c² = 16 − 9।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।