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त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 11। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

अंतरिक्ष में बिंदुओं के तीन निर्देशांक (x, y, z) होते हैं। दूरी और विभाजन सूत्र द्विविमा से स्वाभाविक रूप से विस्तारित होते हैं।

निर्देशांक

तीन परस्पर लंबवत अक्ष अंतरिक्ष को 8 अष्टांशकों में बाँटते हैं।
x-अक्ष पर बिंदु (x, 0, 0); xy-तल पर (x, y, 0)।
निर्देशांकों के चिह्न अष्टांशक बताते हैं।

सूत्र

दूरी: √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]।
विभाजन सूत्र (अंतः m : n): [(mx₂ + nx₁)/(m + n), …]।
मध्य बिंदु: [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2]; त्रिभुज का केंद्रक: शीर्षों का औसत।

मुख्य शब्द

अष्टांशक: तीन निर्देशांक तलों से बने आठ क्षेत्रों में से एक
निर्देशांक तल: xy-, yz- और zx-तल, जिन पर क्रमशः z = 0, x = 0 और y = 0
विभाजन सूत्र (3D): PQ को अंतः m : n में बाँटने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n), (mz₂ + nz₁)/(m + n))

सूत्र

d = √(Δx² + Δy² + Δz²)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

(−3, 1, −2) किस अष्टांशक में है, और मूल बिंदु से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।2 अंक

चिह्न (−, +, −): अष्टांशक XʹOYZʹ (सामान्य क्रमांकन में छठा)। दूरी = √(9 + 1 + 4) = √14।

दिखाइए कि (−2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, −1) संरेख हैं।3 अंक

AB = √(9 + 1 + 4) = √14; BC = √(36 + 4 + 16) = √56 = 2√14; AC = √(81 + 9 + 36) = √126 = 3√14। चूँकि AB + BC = AC, बिंदु संरेख हैं।

(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 4, 0) और (0, 0, 6) से समदूरस्थ बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, और शीर्षों (2, 1, 3), (−1, 4, 0), (5, −2, 6) वाले त्रिभुज का केंद्रक भी ज्ञात कीजिए।5 अंक

P(x, y, z) मानें। PO = PA से: x² = (x − 2)², अतः x = 1। PO = PB से: y = 2। PO = PC से: z = 3। P = (1, 2, 3)। केंद्रक = ((2 − 1 + 5)/3, (1 + 4 − 2)/3, (3 + 0 + 6)/3) = (2, 1, 3)।

त्वरित पुनरावृत्ति

8 अष्टांशक।
yz-तल पर x = 0।
केंद्रक = शीर्षों का औसत।

परीक्षा सुझाव

मूल बिंदु से (x, y, z) की दूरी √(x² + y² + z²)।
अंतरिक्ष में तीन बिंदुओं की संरेखता हेतु देखें कि दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर है या नहीं।

अभ्यास MCQ

अंतरिक्ष में अष्टांशकों की संख्या है
1. 4
2. 6
3. 8
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 8. 2³।
z-अक्ष पर बिंदु का रूप है
1. (x, 0, 0)
2. (0, 0, z)
3. (0, y, 0)
4. (x, y, 0)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (0, 0, z). केवल z।
(1, 2, 3) और (4, 6, 3) के बीच दूरी है
1. 7
2. 5
3. 25
4. √7
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 5. √(9 + 16 + 0)।
बिंदु (−2, 3, −4) किन चिह्नों वाले अष्टांशक में है
1. (+, +, +)
2. (+, −, +)
3. (−, −, −)
4. (−, +, −)
उत्तर देखें
उत्तर: (d) (−, +, −). निर्देशांकों के चिह्न।
(3, −4, 5) की x-अक्ष से दूरी है
1. √41
2. 3
3. 5√2
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (a) √41. √(y² + z²) = √(16 + 25)।
(2, 4, 6) और (4, 8, 10) का मध्य बिंदु है
1. (6, 12, 16)
2. (3, 6, 8)
3. (1, 2, 2)
4. (2, 4, 4)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (3, 6, 8). औसत।
मूल बिंदु से (2, 3, 6) की दूरी है
1. 11
2. 7
3. 49
4. 5
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 7. √(4 + 9 + 36)।
(1, −2, 3) और (3, 4, −5) को मिलाने वाले रेखाखंड को अंतः 2 : 3 में बाँटने वाला बिंदु है
1. (2, 1, −1)
2. (9/5, 2/5, −1/5)
3. (7/5, 0, 1)
4. (11/5, 2, −3)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (9/5, 2/5, −1/5). ((6 + 3)/5, (8 − 6)/5, (−10 + 9)/5)।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।