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सीमा और अवकलज – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 12। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

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अध्याय का सार

सीमाएँ बताती हैं कि फलन किस मान की ओर बढ़ता है। सीमाओं से परिभाषित अवकलज तात्क्षणिक परिवर्तन दर मापते हैं।

सीमाएँ

lim(x→a) f(x) का अस्तित्व है यदि बाएँ और दाएँ सीमाएँ बराबर हों।
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = naⁿ⁻¹।
lim(x→0) sin x/x = 1; lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0।

अवकलज

f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h (प्रथम सिद्धांत)।
d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹; d/dx sin x = cos x; d/dx cos x = −sin x।
गुणन नियम (uv)′ = u′v + uv′; भागफल नियम (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²।

मुख्य शब्द

सीमा: x के किसी बिंदु की ओर जाने पर फलन जिस मान की ओर बढ़े
अवकलज: फलन की तात्क्षणिक परिवर्तन दर
प्रथम सिद्धांत: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h से सीधे अवकलज ज्ञात करना

सूत्र

lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = naⁿ⁻¹
lim(x→0) sin x/x = 1
d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

lim(x→2) (x³ − 8)/(x − 2) का मान ज्ञात कीजिए।2 अंक

lim (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = naⁿ⁻¹ से: 3 × 2² = 12।

प्रथम सिद्धांत से f(x) = x² का अवकलज ज्ञात कीजिए।3 अंक

f′(x) = lim(h→0) [(x + h)² − x²]/h = lim(h→0) (2xh + h²)/h = lim(h→0) (2x + h) = 2x।

प्रथम सिद्धांत से sin x का अवकलज ज्ञात कीजिए, और lim(x→0) (1 − cos 2x)/x² का मान ज्ञात कीजिए।5 अंक

f′(x) = lim(h→0) [sin(x + h) − sin x]/h = lim(h→0) 2 cos(x + h/2) sin(h/2)/h = lim cos(x + h/2) × [sin(h/2)/(h/2)] = cos x × 1 = cos x। सीमा: 1 − cos 2x = 2 sin²x, अतः (1 − cos 2x)/x² = 2(sin x/x)² → 2।

त्वरित पुनरावृत्ति

x → 0 पर sin x/x → 1।
अचर का अवकलज 0।
अस्तित्व हेतु बायाँ = दायाँ सीमा।

परीक्षा सुझाव

0/0 रूप में प्रतिस्थापन से पहले गुणनखंड कर काटें।
त्रिकोणमितीय फलनों वाली 0/0 सीमाओं में lim(x→0) sin x/x = 1 या lim(x→0) tan x/x = 1 के रूप में लिखें।

अभ्यास MCQ

lim(x→2) (x + 3) बराबर है
1. 2
2. 3
3. 5
4. 6
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 5. प्रतिस्थापन।
d/dx (x³) है
1. x²
2. x³/3
3. 3x
4. 3x²
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3x². घात नियम।
lim(x→0) sin 3x/x बराबर है
1. 1
2. 1/3
3. 3
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 3. 3 × (sin 3x/3x)।
lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3) बराबर है
1. 3
2. 0
3. 9
4. 6
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 6. x + 3।
lim(x→0) tan 2x/x बराबर है
1. 1
2. 0
3. 2
4. 1/2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 2. 2 × tan 2x/2x।
d/dx (x sin x) है
1. x cos x
2. sin x + x cos x
3. cos x
4. sin x − x cos x
उत्तर देखें
उत्तर: (b) sin x + x cos x. गुणन नियम।
lim(x→1) (x⁵ − 1)/(x − 1) बराबर है
1. 1
2. 4
3. 0
4. 5
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 5. naⁿ⁻¹ = 5।
(x² + 1)/x का अवकलज है
1. 1 − 1/x²
2. 1 + 1/x²
3. 2x − 1/x²
4. 2x
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 1 − 1/x². d/dx (x + 1/x)।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।