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क्रमचय और संचय – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 6। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

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अध्याय का सार

गणना सिद्धांत वस्तुओं को सूचीबद्ध किए बिना व्यवस्थित करने (क्रमचय) या चुनने (संचय) के तरीकों की संख्या ज्ञात करते हैं।

गणना और क्रमचय

गणना का मूल सिद्धांत: एक कार्य m तरीकों से और दूसरा n तरीकों से हो तो दोनों m × n तरीकों से।
n! = n(n − 1)…1; 0! = 1।
ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; दोहराई वस्तुओं की व्यवस्थाएँ = n!/(p! q! …)।

संचय

ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]; ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ।
ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ।
क्रम मायने रखता है → क्रमचय; नहीं रखता → संचय।

मुख्य शब्द

क्रमचय: क्रमित व्यवस्था
संचय: अक्रमित चयन
क्रमगुणित संकेतन: n! = 1 × 2 × 3 × … × n, n भिन्न वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके

सूत्र

ⁿPᵣ = n!/(n − r)!
ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

यदि ⁿP₂ = 90, तो n ज्ञात कीजिए।2 अंक

n(n − 1) = 90, अतः n = 10।

"INDIA" शब्द के अक्षर कितने तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं? I से आरंभ होने वाले कितने हैं?3 अंक

5 अक्षर, I दो बार: 5!/2! = 60। I से आरंभ: N, D, I, A स्वतंत्र व्यवस्था: 4! = 24।

"EQUATION" के अक्षरों को एक-एक बार लेकर कितने शब्द (अर्थ सहित या रहित) बन सकते हैं? कितनों में सभी स्वर साथ हैं, और कितने स्वर से आरंभ होते हैं?5 अंक

EQUATION में 8 भिन्न अक्षर: 8! = 40,320 शब्द। स्वर E, U, A, I, O (5) एक खंड के रूप में Q, T, N के साथ: 4 इकाइयाँ 4! तरीकों से और स्वर अंदर 5! तरीकों से: 24 × 120 = 2,880। स्वर से आरंभ: पहले अक्षर हेतु 5 विकल्प × शेष 7! = 5 × 5,040 = 25,200।

त्वरित पुनरावृत्ति

0! = 1।
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ।
व्यवस्था = P; चयन = C।

परीक्षा सुझाव

n-भुज के विकर्णों की संख्या = ⁿC₂ − n।
पहले तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं; "व्यवस्थित करना, संख्याएँ बनाना, बैठाना" → क्रमचय; "चुनना, टीम बनाना" → संचय।

अभ्यास MCQ

5! बराबर है
1. 20
2. 60
3. 25
4. 120
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 120. 5 × 4 × 3 × 2 × 1।
⁵C₂ बराबर है
1. 10
2. 20
3. 5
4. 25
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 10. 5 × 4/2।
"BOOK" शब्द के अक्षरों की व्यवस्थाओं की संख्या है
1. 12
2. 24
3. 6
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 12. 4!/2!।
7 में से 3 विद्यार्थी कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं
1. 21
2. 210
3. 35
4. 42
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 35. ⁷C₃।
1, 2, 3, 4, 5 से बिना दोहराए कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं
1. 120
2. 125
3. 10
4. 60
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 60. ⁵P₃।
षट्भुज के विकर्णों की संख्या है
1. 6
2. 15
3. 9
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 9. 15 − 6।
यदि ⁿC₈ = ⁿC₆, तो n है
1. 2
2. 14
3. 48
4. 7
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 14. 8 + 6।
6 पुरुषों और 4 स्त्रियों में से 3 पुरुष और 2 स्त्रियों की समिति कितने तरीकों से चुनी जा सकती है
1. 120
2. 60
3. 240
4. 210
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 120. ⁶C₃ × ⁴C₂ = 20 × 6।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।