होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 11 गणित › द्विपद प्रमेय

द्विपद प्रमेय – कक्षा 11 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 11 गणित, अध्याय 7। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

Read in English

अध्याय का सार

द्विपद प्रमेय पास्कल त्रिभुज के द्विपद गुणांकों से धनात्मक पूर्णांक n हेतु (a + b)ⁿ का प्रसार करती है।

प्रसार

(a + b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ, r = 0 से n; कुल n + 1 पद।
व्यापक पद Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ।
गुणांकों का योग = 2ⁿ (a = b = 1 रखें)।

मध्य पद और उपयोग

n सम: एक मध्य पद T₍ₙ/₂₎₊₁; n विषम: दो मध्य पद।
गुणांक सममित: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ।
(1.01)⁵ जैसे सन्निकटन और विभाज्यता प्रमाणों में उपयोगी।

मुख्य शब्द

द्विपद गुणांक: प्रसार में गुणांक ⁿCᵣ
पास्कल त्रिभुज: त्रिभुजाकार व्यवस्था जिसमें हर संख्या ऊपर की दो का योग
व्यापक पद: Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ, (a + b)ⁿ के प्रसार का (r + 1)वाँ पद

सूत्र

Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
गुणांकों का योग = 2ⁿ

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

(x + 1/x)⁴ का प्रसार कीजिए।2 अंक

x⁴ + 4x² + 6 + 4/x² + 1/x⁴।

द्विपद प्रमेय से (99)⁴ ज्ञात कीजिए।3 अंक

(100 − 1)⁴ = 100⁴ − 4 × 100³ + 6 × 100² − 4 × 100 + 1 = 100,000,000 − 4,000,000 + 60,000 − 400 + 1 = 96,059,601।

(3x − x³/6)⁷ के मध्य पद ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि 6ⁿ − 5n को 25 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है।5 अंक

n = 7 विषम, अतः दो मध्य पद T₄ और T₅। T₄ = ⁷C₃ (3x)⁴ (−x³/6)³ = 35 × 81x⁴ × (−x⁹/216) = −105x¹³/8। T₅ = ⁷C₄ (3x)³ (−x³/6)⁴ = 35 × 27x³ × x¹²/1296 = 35x¹⁵/48। दूसरा भाग: 6ⁿ = (1 + 5)ⁿ = 1 + 5n + ⁿC₂ 5² + ⁿC₃ 5³ + …, अतः 6ⁿ − 5n = 1 + 25(ⁿC₂ + ⁿC₃ 5 + …), जो 25 के गुणज से 1 अधिक है।

त्वरित पुनरावृत्ति

n + 1 पद।
गुणांक पास्कल त्रिभुज से।
गुणांकों का योग 2ⁿ।

परीक्षा सुझाव

x से स्वतंत्र पद हेतु Tᵣ₊₁ में x की घात शून्य रखें।
गुणांक हेतु व्यापक पद लिखें, x की घात सरल करें और वांछित घात के बराबर रखें।

अभ्यास MCQ

(a + b)⁷ में पदों की संख्या है
1. 7
2. 8
3. 6
4. 14
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 8. n + 1।
(1 + x)⁵ में गुणांकों का योग है
1. 5
2. 10
3. 25
4. 32
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 32. 2⁵।
(1 + x)⁵ में x² का गुणांक है
1. 5
2. 10
3. 20
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 10. ⁵C₂।
(x + y)⁴ का मध्य पद है
1. 6x²y²
2. 4x³y
3. 4xy³
4. x²y²
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 6x²y². T₃ = ⁴C₂x²y²।
(x + 2)⁶ का चौथा पद है
1. 20x³
2. 160x³
3. 80x³
4. 240x²
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 160x³. ⁶C₃ x³ 2³।
(x + 1/x)⁶ में x से स्वतंत्र पद है
1. 20
2. 15
3. 6
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 20. ⁶C₃।
(1.1)⁵ लगभग है
1. 1.5
2. 1.21
3. 1.61
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 1.61. 1 + 0.5 + 0.1 + 0.01 ≈ 1.61।
(1 + 2x)⁶ में x⁵ का गुणांक है
1. 160
2. 32
3. 6
4. 192
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 192. ⁶C₅ × 2⁵।

सभी अध्याय: कक्षा 11 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।