होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 10 गणित › त्रिभुज

त्रिभुज – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 6। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

समरूप त्रिभुजों का आकार समान होता है: संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समानुपाती। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय और समरूपता कसौटियों से अज्ञात लंबाइयाँ निकालते हैं।

समरूपता

दो त्रिभुज समरूप हैं यदि संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।
सभी सर्वांगसम त्रिभुज समरूप हैं, पर सभी समरूप त्रिभुज सर्वांगसम नहीं।
सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं; सभी वृत्त और सभी वर्ग भी समरूप हैं।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)

त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है।
△ABC में DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC।
विलोम: यदि कोई रेखा दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटे तो वह तीसरी भुजा के समांतर है।

समरूपता की कसौटियाँ

AAA (या AA): दो कोण बराबर।
SSS: तीनों भुजाएँ एक ही अनुपात में।
SAS: एक कोण बराबर और उसे बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती।

मुख्य शब्द

समरूप आकृतियाँ: समान आकार पर आवश्यक नहीं समान माप वाली आकृतियाँ
BPT: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय, जिसे थेल्स प्रमेय भी कहते हैं
संगत भुजाएँ: समरूप त्रिभुजों में बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ

सूत्र

DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC
△ABC ~ △PQR ⇒ AB/PQ = BC/QR = CA/RP

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

△ABC में DE ∥ BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm और AE = 4 cm है। EC ज्ञात कीजिए।2 अंक

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से AD/DB = AE/EC, अतः 2/3 = 4/EC और EC = 6 cm।

समरूपता की AA कसौटी उदाहरण सहित लिखिए।3 अंक

यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं (तीसरे कोण भी बराबर हो जाते हैं)। उदाहरण: एक ही समय पर व्यक्ति की छाया और खंभे की छाया समरूप समकोण त्रिभुज बनाती हैं, क्योंकि सूर्य का कोण और समकोण उभयनिष्ठ हैं।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय सिद्ध कीजिए: त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा, अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन्हें एक ही अनुपात में विभाजित करती है।5 अंक

दिया है △ABC में DE ∥ BC, D भुजा AB पर, E भुजा AC पर। सिद्ध करना है AD/DB = AE/EC। BE और CD मिलाएँ; DM ⟂ AC और EN ⟂ AB खींचें। ar(ADE) = ½ × AD × EN और ar(BDE) = ½ × DB × EN, अतः ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB। इसी प्रकार ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC। त्रिभुज BDE और DEC एक ही आधार DE पर और समांतर रेखाओं DE व BC के बीच हैं, अतः ar(BDE) = ar(DEC)। इसलिए AD/DB = AE/EC।

त्वरित पुनरावृत्ति

समरूप = बराबर कोण + समानुपाती भुजाएँ।
BPT: भुजा के समांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को समानुपात में बाँटती है।
कसौटियाँ: AA, SSS, SAS।

परीक्षा सुझाव

समरूप त्रिभुजों के शीर्ष सही क्रम में लिखें (△ABC ~ △PQR अर्थात A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R)।
BPT लगाने से पहले साफ़ नामांकित चित्र बनाएँ।

अभ्यास MCQ

सभी ____ त्रिभुज समरूप होते हैं।
1. समबाहु
2. समकोण
3. समद्विबाहु
4. विषमबाहु
उत्तर देखें
उत्तर: (a) समबाहु. हर समबाहु त्रिभुज के कोण 60°, 60°, 60° हैं।
△ABC में DE ∥ BC, AD = 2, DB = 3, AE = 4। तब EC =
1. 5
2. 8
3. 6
4. 3
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6. 2/3 = 4/EC ⇒ EC = 6।
समान आकार पर आवश्यक नहीं समान माप वाली आकृतियाँ हैं
1. सर्वांगसम
2. बराबर
3. समरूप
4. समांतर
उत्तर देखें
उत्तर: (c) समरूप. यही समरूप आकृतियों की परिभाषा है।
यदि △ABC ~ △DEF, AB = 4, DE = 6 और BC = 8, तो EF =
1. 10
2. 12
3. 16
4. 9
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 12. 4/6 = 8/EF ⇒ EF = 12।
इनमें कौन समरूपता की कसौटी नहीं है?
1. AA
2. SSS
3. ASS
4. SAS
उत्तर देखें
उत्तर: (c) ASS. ASS (SSA) कसौटी नहीं है।
6 m का खंभा 4 m छाया बनाता है। उसी समय एक मीनार 28 m छाया बनाती है। मीनार की ऊँचाई है
1. 48 m
2. 36 m
3. 18.7 m
4. 42 m
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 42 m. 6/4 = h/28 ⇒ h = 42 m।
△ABC में DE ∥ BC और AD/DB = 3/5। यदि AC = 5.6 cm, तो AE =
1. 1.8 cm
2. 3.5 cm
3. 2.4 cm
4. 2.1 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 2.1 cm. AE/AC = 3/8 ⇒ AE = 2.1 cm।
समलंब ABCD में AB ∥ DC और विकर्ण O पर मिलते हैं। तब AO/OC बराबर है
1. AB/AD
2. BO/OD
3. DC/AB
4. OD/OB
उत्तर देखें
उत्तर: (b) BO/OD. △AOB ~ △COD ⇒ AO/OC = BO/OD।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।