होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 10 गणित › निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 7। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

Read in English

अध्याय का सार

निर्देशांक ज्यामिति में (x, y) बिंदुओं से दूरी निकालते हैं और रेखाखंड को दिए अनुपात में बाँटते हैं।

दूरी सूत्र

(x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच दूरी = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]।
मूल बिंदु से (x, y) की दूरी = √(x² + y²)।
इससे संरेखता, समद्विबाहु/समबाहु त्रिभुज, वर्ग व समचतुर्भुज की पहचान करते हैं।

विभाजन सूत्र

A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को m : n में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))।
मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)।
अनुपात अज्ञात हो तो k : 1 लें।

चतुर्थांश और अक्ष

चिह्न: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −)।
x-अक्ष पर बिंदु (x, 0); y-अक्ष पर (0, y)।

मुख्य शब्द

भुज: बिंदु का x-निर्देशांक
कोटि: बिंदु का y-निर्देशांक
संरेख बिंदु: एक ही सरल रेखा पर स्थित बिंदु

सूत्र

d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

(2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।2 अंक

d = √[(4 − 2)² + (1 − 3)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2 इकाई।

x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ है।3 अंक

बिंदु (x, 0) मानें। (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81, अतः x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85, −8x = 56, x = −7। बिंदु (−7, 0) है।

y-अक्ष, (5, −6) और (−1, −4) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।5 अंक

अनुपात k : 1 मानें। बिंदु ((−k + 5)/(k + 1), (−4k − 6)/(k + 1)) है। y-अक्ष पर x = 0, अतः −k + 5 = 0 और k = 5। अनुपात = 5 : 1। y = (−20 − 6)/6 = −13/3। बिंदु (0, −13/3) है।

त्वरित पुनरावृत्ति

दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र मुख्य साधन हैं।
मध्य-बिंदु m = n की स्थिति है।
x-अक्ष पर (x, 0), y-अक्ष पर (0, y)।

परीक्षा सुझाव

विभाजन सूत्र में m दूसरे बिंदु (x₂, y₂) के साथ जाता है।
दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर हो तो बिंदु संरेख हैं।

अभ्यास MCQ

मूल बिंदु से (3, 4) की दूरी है
1. 7
2. 5
3. 25
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 5. √(9 + 16) = 5।
(2, 4) और (6, 8) का मध्य-बिंदु है
1. (3, 5)
2. (8, 12)
3. (4, 6)
4. (2, 2)
उत्तर देखें
उत्तर: (c) (4, 6). ((2 + 6)/2, (4 + 8)/2)।
बिंदु (−3, 5) किस चतुर्थांश में है?
1. II
2. I
3. III
4. IV
उत्तर देखें
उत्तर: (a) II. x ऋणात्मक, y धनात्मक।
(1, −3) और (4, 1) के बीच दूरी है
1. 25
2. 7
3. 5
4. √7
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 5. √(9 + 16) = 5।
(−1, 7) और (4, −3) को 2 : 3 में बाँटने वाला बिंदु है
1. (2, 3)
2. (1, 3)
3. (1, 2)
4. (3, 1)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (1, 3). x = (8 − 3)/5 = 1, y = (−6 + 21)/5 = 3।
यदि (x, 3), (2, 5) और (6, 1) का मध्य-बिंदु है, तो x =
1. 3
2. 4
3. 5
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4. x = (2 + 6)/2 = 4।
x-अक्ष (2, −3) और (5, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?
1. 2 : 1
2. 1 : 2
3. 3 : 2
4. 1 : 3
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1 : 2. y = 0: (6k − 3)/(k + 1) = 0 ⇒ k = 1/2।
यदि A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5) समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, तो (x, y) है
1. (6, 6)
2. (3, 6)
3. (6, 3)
4. (2, 3)
उत्तर देखें
उत्तर: (c) (6, 3). विकर्ण समद्विभाजित: x = 6, y = 3।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।