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त्रिकोणमिति का परिचय – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 8। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

त्रिकोणमितीय अनुपात समकोण त्रिभुज की भुजाओं को उसके न्यून कोणों से जोड़ते हैं। मानक कोणों के मान और तीन सर्वसमिकाएँ अधिकतर प्रश्न हल करती हैं।

अनुपात (समकोण त्रिभुज में कोण A)

sin A = लंब/कर्ण, cos A = आधार/कर्ण, tan A = लंब/आधार।
cosec A = 1/sin A, sec A = 1/cos A, cot A = 1/tan A।
tan A = sin A / cos A।

मानक मान

sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1।
cos के मान यही सूची उल्टे क्रम में।
tan 0°, 30°, 45°, 60° = 0, 1/√3, 1, √3; tan 90° परिभाषित नहीं।

सर्वसमिकाएँ

sin²A + cos²A = 1।
1 + tan²A = sec²A (A ≠ 90°)।
1 + cot²A = cosec²A (A ≠ 0°)।

मुख्य शब्द

कर्ण: समकोण के सामने की भुजा (सबसे लंबी)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: वह समीकरण जो हर कोण के लिए सत्य हो जहाँ दोनों पक्ष परिभाषित हों
पूरक कोण: वे दो कोण जिनका योग 90° हो, जैसे sin(90° − A) = cos A

सूत्र

sin²A + cos²A = 1
sec²A − tan²A = 1
cosec²A − cot²A = 1

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

यदि sin A = 3/5 है, तो cos A और tan A ज्ञात कीजिए (A न्यूनकोण)।2 अंक

cos A = √(1 − 9/25) = 4/5 और tan A = sin A/cos A = 3/4।

मान ज्ञात कीजिए: (sin 30° + tan 45° − cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°)।3 अंक

अंश = 1/2 + 1 − 2/√3 = (3√3 − 4)/(2√3)। हर = 2/√3 + 1/2 + 1 = (4 + 3√3)/(2√3)। मान = (3√3 − 4)/(3√3 + 4)।

सिद्ध कीजिए कि (sin A − 2 sin³A)/(2 cos³A − cos A) = tan A।5 अंक

LHS = sin A(1 − 2 sin²A)/[cos A(2 cos²A − 1)]। चूँकि 1 − 2 sin²A = 1 − 2(1 − cos²A) = 2 cos²A − 1, कोष्ठक कट जाते हैं और LHS = sin A/cos A = tan A = RHS।

त्वरित पुनरावृत्ति

sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण, tan = लंब/आधार।
sin 30° = cos 60° = 1/2, tan 45° = 1।
तीन सर्वसमिकाएँ: sin² + cos² = 1, sec² − tan² = 1, cosec² − cot² = 1।

परीक्षा सुझाव

एक अनुपात दिया हो तो त्रिभुज बनाकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।
तालिका याद रखने की ट्रिक: sin 0°…90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2।

अभ्यास MCQ

sin 30° बराबर है
1. 1
2. 1/2
3. √3/2
4. 1/√2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1/2. मानक मान।
tan 45° बराबर है
1. 0
2. 1
3. √3
4. परिभाषित नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 1. 45° पर लंब = आधार।
sin²θ + cos²θ =
1. 0
2. tan²θ
3. 2
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 1. मूल सर्वसमिका।
यदि tan A = 3/4, तो sin A =
1. 3/4
2. 4/5
3. 3/5
4. 5/3
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 3/5. कर्ण = 5, अतः sin A = 3/5।
2 tan 30° / (1 + tan²30°) का मान है
1. tan 60°
2. cos 60°
3. sin 60°
4. sin 30°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) sin 60°. = √3/2 = sin 60°।
(1 + tan²A) cos²A =
1. sin²A
2. 0
3. 1
4. sec A
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 1. sec²A × cos²A = 1।
यदि sec θ + tan θ = p, तो sec θ − tan θ =
1. −p
2. p
3. 1/p
4. p²
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 1/p. गुणनफल sec²θ − tan²θ = 1।
यदि sin(A − B) = 1/2 और cos(A + B) = 1/2 (0° < A + B ≤ 90°), तो A =
1. 45°
2. 30°
3. 60°
4. 15°
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 45°. A − B = 30°, A + B = 60° ⇒ A = 45°।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।