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त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 9। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

त्रिकोणमिति से उन ऊँचाइयों और दूरियों को ज्ञात करते हैं जिन्हें सीधे नापा नहीं जा सकता, उन्नयन और अवनमन कोणों की सहायता से।

कोण

उन्नयन कोण: ऊपर की वस्तु देखते समय क्षैतिज से ऊपर का कोण।
अवनमन कोण: नीचे की वस्तु देखते समय क्षैतिज से नीचे का कोण।
A से B का उन्नयन कोण = B से A का अवनमन कोण (एकांतर कोण)।

विधि

ऊँचाई को लंब और दूरी को आधार मानकर समकोण त्रिभुज बनाएँ।
प्रायः tan θ = ऊँचाई/दूरी लगाएँ।
दृष्टि रेखा (कर्ण) हो तो sin या cos लें।

मुख्य शब्द

दृष्टि रेखा: प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक की रेखा
उन्नयन कोण: क्षैतिज और ऊँची वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच कोण
अवनमन कोण: क्षैतिज और नीची वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच कोण

सूत्र

tan θ = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी
मान: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

एक सीढ़ी भूमि से 60° का कोण बनाती है और उसका पाद दीवार से 2 m दूर है। लंबाई ज्ञात कीजिए।2 अंक

cos 60° = 2/L, अतः L = 2/(1/2) = 4 m।

मीनार के पाद से 30 m दूर बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।3 अंक

tan 30° = h/30, अतः h = 30/√3 = 10√3 ≈ 17.32 m।

7 m ऊँचे भवन के शिखर से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।5 अंक

भवन और मीनार की दूरी x मानें। पाद का अवनमन कोण 45°: tan 45° = 7/x, अतः x = 7 m। मीनार भवन के शिखर से h मीटर ऊँची हो: tan 60° = h/7, अतः h = 7√3। मीनार की ऊँचाई = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) ≈ 19.12 m।

त्वरित पुनरावृत्ति

उन्नयन ऊपर देखना, अवनमन नीचे देखना।
अधिकतर प्रश्नों में tan लगता है।
पहले चित्र बनाएँ — उसके अंक मिलते हैं।

परीक्षा सुझाव

कोण आँख के स्तर से नापा हो तो प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ें।
√3 ≈ 1.732 केवल अंतिम चरण में रखें।

अभ्यास MCQ

खंभे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है
1. 30°
2. 45°
3. 60°
4. 90°
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 45°. tan θ = 1 ⇒ θ = 45°।
चट्टान से नीचे नाव को देखने पर बनने वाला कोण कहलाता है
1. उन्नयन
2. प्रतिवर्ती
3. अवनमन
4. समकोण
उत्तर देखें
उत्तर: (c) अवनमन. यह क्षैतिज से नीचे है।
30 m ऊँची मीनार एक बिंदु से 45° पर दिखती है। बिंदु की दूरी है
1. 10√3 m
2. 15 m
3. 30√3 m
4. 30 m
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 30 m. tan 45° = 30/d ⇒ d = 30 m।
100 m लंबी पतंग की डोर भूमि से 60° बनाती है। पतंग की ऊँचाई है
1. 50 m
2. 50√3 m
3. 100√3 m
4. 100 m
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 50√3 m. sin 60° = h/100 ⇒ h = 50√3 m।
मीनार के पाद से 30 m दूर बिंदु पर उन्नयन कोण 30° है। ऊँचाई है
1. 10√3 m
2. 30√3 m
3. 15 m
4. 10 m
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 10√3 m. h = 30 × 1/√3 = 10√3 m।
20√3 m दूर से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। ऊँचाई है
1. 10 m
2. 60 m
3. 20√3 m
4. 20 m
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 20 m. h = 20√3 × 1/√3 = 20 m।
सूर्य का उन्नतांश 60° से 30° होने पर मीनार की छाया 40 m बढ़ जाती है। ऊँचाई है
1. 40 m
2. 40√3 m
3. 20 m
4. 20√3 m
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 20√3 m. h(√3 − 1/√3) = 40 ⇒ h = 20√3 m।
75 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ से एक ही ओर के दो जहाज़ों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। जहाज़ों के बीच दूरी है
1. 75(√3 − 1) m
2. 75√3 m
3. 75 m
4. 75(√3 + 1) m
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 75(√3 − 1) m. दूरियाँ 75√3 और 75, अंतर 75(√3 − 1) m।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।