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वृत्त – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 10। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

इस अध्याय में वृत्त की स्पर्श रेखाएँ पढ़ते हैं: स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है और उस बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।

स्पर्श रेखा और छेदक रेखा

छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है; स्पर्श रेखा एक बिंदु पर छूती है।
वृत्त के अंदर के बिंदु से कोई, वृत्त पर के बिंदु से एक, बाहर के बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ।
एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

मुख्य प्रमेय

स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है।
बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
केंद्र दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर होता है।

मुख्य शब्द

स्पर्श रेखा: वृत्त से केवल एक बिंदु पर मिलने वाली रेखा
स्पर्श बिंदु: वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है
छेदक रेखा: वृत्त को दो बिंदुओं पर मिलने वाली रेखा

सूत्र

स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या
P से स्पर्श रेखा की लंबाई: PT = √(OP² − r²)

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ, केंद्र O से जाने वाली रेखा को Q पर मिलती है। यदि OP = 5 cm और OQ = 13 cm, तो PQ ज्ञात कीजिए।2 अंक

त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः PQ = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm।

सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।3 अंक

मान लें P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं। समकोण त्रिभुज OAP और OBP में OA = OB (त्रिज्याएँ), OP उभयनिष्ठ और ∠OAP = ∠OBP = 90°। RHS सर्वांगसमता से △OAP ≅ △OBP, अतः PA = PB।

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।5 अंक

केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा XY मानें। XY पर P के अतिरिक्त कोई बिंदु Q लें। Q वृत्त के बाहर है (स्पर्श रेखा वृत्त को केवल P पर मिलती है), अतः OQ > OP। इस प्रकार OP, O से रेखा XY की न्यूनतम दूरी है। किसी बिंदु से रेखा तक न्यूनतम रेखाखंड लंब होता है, अतः OP ⟂ XY।

त्वरित पुनरावृत्ति

स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या।
बाह्य बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर।
बाहर → 2, वृत्त पर → 1, अंदर → 0 स्पर्श रेखाएँ।

परीक्षा सुझाव

केंद्र को स्पर्श बिंदु से मिलाएँ — तुरंत समकोण मिलता है।
दो स्पर्श रेखाओं और दो त्रिज्याओं से बने चतुर्भुज में केंद्र और बाह्य बिंदु के कोणों का योग 180° होता है।

अभ्यास MCQ

एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
1. 1
2. अनंत
3. 4
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) अनंत. वृत्त के हर बिंदु पर एक।
वृत्त के अंदर के बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या है
1. 2
2. 1
3. 0
4. अनंत
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 0. अंदर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं।
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण है
1. 45°
2. 60°
3. 90°
4. 180°
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 90°. स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है।
केंद्र से 13 cm दूर बिंदु से 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई है
1. 8 cm
2. 12 cm
3. 18 cm
4. 10 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 12 cm. √(169 − 25) = 12 cm।
P से दो स्पर्श रेखाएँ 80° का कोण बनाती हैं। स्पर्श बिंदुओं की त्रिज्याओं के बीच कोण है
1. 80°
2. 50°
3. 90°
4. 100°
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 100°. 180° − 80° = 100°।
PA और PB, P से स्पर्श रेखाएँ हैं और PA = 7 cm। तब PB =
1. 3.5 cm
2. कह नहीं सकते
3. 14 cm
4. 7 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 7 cm. बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर।
एक वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD में
1. AC = BD
2. AB + BC = CD + DA
3. AB = CD
4. AB + CD = BC + DA
उत्तर देखें
उत्तर: (d) AB + CD = BC + DA. बराबर स्पर्श-खंडों से AB + CD = BC + DA।
दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। छोटे वृत्त को छूने वाली बड़े वृत्त की जीवा की लंबाई है
1. 8 cm
2. 4 cm
3. 6 cm
4. 10 cm
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 8 cm. आधी जीवा = √(25 − 9) = 4, जीवा = 8 cm।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।