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समांतर श्रेढ़ियाँ – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 5। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

समांतर श्रेढ़ी (AP) संख्याओं की वह सूची है जिसमें हर पद पिछले पद में एक नियत सार्व अंतर d जोड़ने से मिलता है। n वें पद और n पदों के योग के सूत्र प्रयोग होते हैं।

मूल बातें

सामान्य रूप: a, a + d, a + 2d, …
d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ (पूरी श्रेढ़ी में समान)।
d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

n वाँ पद

aₙ = a + (n − 1)d।
अंत से n वाँ पद = l − (n − 1)d, जहाँ l अंतिम पद है।
AP में तीन संख्याएँ: a − d, a, a + d लें।

n पदों का योग

Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]।
अंतिम पद ज्ञात हो तो Sₙ = n/2 (a + l)।
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁।

मुख्य शब्द

सार्व अंतर: अगला पद पाने के लिए जोड़ी जाने वाली नियत राशि
समांतर श्रेढ़ी: नियत सार्व अंतर वाला अनुक्रम
nवाँ पद: aₙ = a + (n − 1)d, AP का व्यापक पद

सूत्र

aₙ = a + (n − 1)d
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
Sₙ = n/2 (a + l)
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

AP 2, 7, 12, … का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।2 अंक

a = 2, d = 5। a₁₀ = 2 + 9 × 5 = 47।

AP 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है?3 अंक

a = 3, d = 5। 3 + (n − 1)5 = 78, अतः (n − 1)5 = 75, n − 1 = 15, n = 16। 16वाँ पद 78 है।

6 से विभाज्य प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए। यह भी ज्ञात कीजिए कि 24, 21, 18, … के कितने पदों का योग 78 है।5 अंक

पहला भाग: 6, 12, …, 240 एक AP है जिसमें a = 6, d = 6, n = 40। S₄₀ = 40/2 × (6 + 240) = 20 × 246 = 4920। दूसरा भाग: a = 24, d = −3। Sₙ = n/2[48 − 3(n − 1)] = 78 से n(51 − 3n) = 156, अर्थात 3n² − 51n + 156 = 0, n² − 17n + 52 = 0, (n − 4)(n − 13) = 0। अतः n = 4 या 13; दोनों मान्य हैं क्योंकि 9वें पद के बाद के पद ऋणात्मक होकर कट जाते हैं।

त्वरित पुनरावृत्ति

aₙ = a + (n − 1)d।
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]।
तीन पदों के लिए a − d, a, a + d लें।

परीक्षा सुझाव

AP कहने से पहले एक से अधिक युग्मों में d जाँचें।
n धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए — भिन्नात्मक या ऋणात्मक n छोड़ दें।

अभ्यास MCQ

3, 7, 11, 15, … का सार्व अंतर है
1. 4
2. 3
3. 7
4. −4
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 4. 7 − 3 = 4।
2, 5, 8, … का 10वाँ पद है
1. 30
2. 29
3. 32
4. 27
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 29. 2 + 9 × 3 = 29।
प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का योग है
1. 210
2. 200
3. 220
4. 190
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 210. 20 × 21/2 = 210।
3, 8, 13, … का कौन-सा पद 78 है?
1. 16वाँ
2. 15वाँ
3. 17वाँ
4. 14वाँ
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 16वाँ. 3 + (n − 1)5 = 78 ⇒ n = 16।
2, 6, 10, … के प्रथम 15 पदों का योग है
1. 390
2. 420
3. 480
4. 450
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 450. 15/2 [4 + 56] = 450।
यदि 2k + 1, 13 और 5k − 3 AP में हैं, तो k =
1. 3
2. 4
3. 5
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 4. 26 = 7k − 2 ⇒ k = 4।
दो अंकों की कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
1. 31
2. 29
3. 30
4. 33
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 30. 12, 15, …, 99: (99 − 12)/3 + 1 = 30।
यदि Sₙ = 3n² + 2n हो, तो सार्व अंतर है
1. 3
2. 5
3. 6
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6. a₁ = 5, a₂ = 16 − 5 = 11, d = 6।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।