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द्विघात समीकरण – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 4। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

द्विघात समीकरण का रूप ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) है। इसे गुणनखंडन या द्विघाती सूत्र से हल करते हैं, और विविक्तकर मूलों की प्रकृति बताता है।

हल करना

गुणनखंडन: मध्य पद को ऐसे तोड़ें कि गुणनफल ac हो।
द्विघाती सूत्र: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a।
मूल x के वे मान हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

मूलों की प्रकृति (D = b² − 4ac)

D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल।
D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल, x = −b/2a।
D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।

शब्द-प्रश्न

स्थिति से समीकरण बनाएँ (क्षेत्रफल, चाल, आयु, संख्याएँ)।
अर्थहीन मूल (ऋणात्मक लंबाई या चाल) छोड़ दें।

मुख्य शब्द

द्विघात समीकरण: घात 2 का समीकरण, ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
विविक्तकर: D = b² − 4ac, मूलों की प्रकृति बताता है
मूल: x का वह मान जो समीकरण को सत्य करे

सूत्र

x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
D = b² − 4ac

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

2x² − 4x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।2 अंक

D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8 < 0, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

गुणनखंडन से 2x² − 7x + 3 = 0 हल कीजिए।3 अंक

2x² − 6x − x + 3 = 2x(x − 3) − 1(x − 3) = (2x − 1)(x − 3) = 0, अतः x = 1/2 या x = 3।

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। द्विघात समीकरण बनाइए और पूर्णांक ज्ञात कीजिए।5 अंक

पूर्णांक x और x + 1 मानें। तब x(x + 1) = 306, अर्थात x² + x − 306 = 0। D = 1 + 1224 = 1225 = 35²। x = (−1 ± 35)/2, अतः x = 17 या −18। धनात्मक मान लेने पर पूर्णांक 17 और 18 हैं। जाँच: 17 × 18 = 306 ✓।

त्वरित पुनरावृत्ति

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0।
D > 0 दो मूल, D = 0 बराबर मूल, D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं।
शब्द-प्रश्न में दोनों मूल जाँचें।

परीक्षा सुझाव

गुणनखंडन से पहले सभी पदों को एक ओर (= 0) लाएँ।
"बराबर मूल" प्रश्नों में D = 0 रखकर k निकालें।

अभ्यास MCQ

इनमें द्विघात समीकरण कौन-सा है?
1. 2x² − 3x + 1 = 0
2. x³ − x = 0
3. (x + 2)² = x² + 4
4. x + 1/x² = 3
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2x² − 3x + 1 = 0. (x + 2)² = x² + 4 सरल करने पर 4x = 0 (रैखिक); केवल 2x² − 3x + 1 = 0 की घात 2 है।
x² − 9 = 0 के मूल हैं
1. ±9
2. केवल 3
3. 9
4. ±3
उत्तर देखें
उत्तर: (d) ±3. x² = 9 ⇒ x = ±3।
2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर है
1. 8
2. 40
3. −8
4. 16
उत्तर देखें
उत्तर: (c) −8. 16 − 24 = −8।
x² − 5x + 6 = 0 के मूल हैं
1. 2, 3
2. −2, −3
3. 1, 6
4. −1, 6
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2, 3. (x − 2)(x − 3) = 0।
यदि 2x² + kx + 3 = 0 के मूल बराबर हैं, तो k =
1. 24
2. ±6
3. ±2√6
4. ±√6
उत्तर देखें
उत्तर: (c) ±2√6. k² − 24 = 0 ⇒ k = ±2√6।
x² + 4x + 5 = 0 के
1. दो भिन्न वास्तविक मूल
2. कोई वास्तविक मूल नहीं
3. दो बराबर मूल
4. एक मूल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) कोई वास्तविक मूल नहीं. D = 16 − 20 < 0।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। छोटा पूर्णांक है
1. 16
2. 17
3. 18
4. 15
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 17. x(x + 1) = 306 ⇒ x = 17।
एक आयत की लंबाई चौड़ाई के दुगुने से 1 m अधिक है और क्षेत्रफल 528 m² है। चौड़ाई है
1. 22 m
2. 16 m
3. 33 m
4. 12 m
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 16 m. x(2x + 1) = 528 ⇒ x = 16।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।