होम › मुफ़्त नोट्स › कक्षा 10 गणित › दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म – कक्षा 10 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 10 गणित, अध्याय 3। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

अध्याय का सार

x और y में दो रैखिक समीकरण दो सीधी रेखाएँ हैं। उनका उभयनिष्ठ बिंदु (यदि हो) हल है, जिसे ग्राफ़, प्रतिस्थापन या विलोपन से निकालते हैं।

हलों के प्रकार

प्रतिच्छेदी रेखाएँ: अद्वितीय हल (संगत)।
संपाती रेखाएँ: अपरिमित रूप से अनेक हल (संगत, आश्रित)।
समांतर रेखाएँ: कोई हल नहीं (असंगत)।

a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का अनुपात परीक्षण

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → अद्वितीय हल।
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अनेक हल।
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं।

बीजगणितीय विधियाँ

प्रतिस्थापन: एक समीकरण से एक चर निकालकर दूसरे में रखें।
विलोपन: एक चर के गुणांक बराबर कर समीकरण जोड़ें या घटाएँ।
उत्तर को दोनों समीकरणों में जाँचें।

मुख्य शब्द

संगत युग्म: कम से कम एक हल वाला युग्म
असंगत युग्म: बिना हल वाला युग्म (समांतर रेखाएँ)
विलोपन: समीकरणों को जोड़/घटाकर एक चर हटाना

सूत्र

अद्वितीय: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
अनेक: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
कोई नहीं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

जाँचिए कि x + 2y = 3 और 2x + 4y = 6 संगत हैं या नहीं।2 अंक

a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 3/6 = 1/2। सभी अनुपात बराबर हैं, अतः रेखाएँ संपाती हैं: युग्म संगत है और अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: x + y = 14 और x − y = 4।3 अंक

दूसरे समीकरण से x = y + 4। प्रतिस्थापित करने पर y + 4 + y = 14, अतः 2y = 10, y = 5 और x = 9।

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। संख्या का नौ गुना, अंकों को उलटने से बनी संख्या के दुगुने के बराबर है। संख्या ज्ञात कीजिए।5 अंक

संख्या 10x + y मानें। तब x + y = 9 और 9(10x + y) = 2(10y + x), अर्थात 90x + 9y = 20y + 2x, अतः 88x = 11y और y = 8x। x + y = 9 से 9x = 9, x = 1, y = 8। संख्या 18 है। जाँच: 9 × 18 = 162 = 2 × 81 ✓।

त्वरित पुनरावृत्ति

प्रतिच्छेदी = एक हल, संपाती = अनेक, समांतर = कोई नहीं।
हल करने से पहले अनुपात परीक्षण करें।
प्रतिस्थापन और विलोपन से एक ही उत्तर आता है।

परीक्षा सुझाव

शब्द-प्रश्नों में पहले साफ़ लिखें कि x और y क्या हैं।
समांतर रेखाओं के लिए k निकालने में a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ लगाएँ।

अभ्यास MCQ

समांतर रेखाओं वाले समीकरण युग्म के होते हैं
1. एक हल
2. कोई हल नहीं
3. दो हल
4. अनेक हल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) कोई हल नहीं. समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।
x + y = 10, x − y = 2 को हल करें
1. (4, 6)
2. (6, 4)
3. (8, 2)
4. (5, 5)
उत्तर देखें
उत्तर: (b) (6, 4). जोड़ने पर 2x = 12, x = 6, y = 4।
संपाती रेखाओं के होते हैं
1. कोई हल नहीं
2. अद्वितीय हल
3. अनेक हल
4. ठीक दो हल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) अनेक हल. हर बिंदु उभयनिष्ठ है।
2x + 3y = 7 और 4x + 6y = 14 के
1. अनेक हल
2. कोई हल नहीं
3. अद्वितीय हल
4. दो हल
उत्तर देखें
उत्तर: (a) अनेक हल. 2/4 = 3/6 = 7/14।
k के किस मान पर kx + 2y = 5 और 3x + y = 1 का अद्वितीय हल है?
1. k ≠ 3
2. k = 6
3. k = 3
4. k ≠ 6
उत्तर देखें
उत्तर: (d) k ≠ 6. k/3 ≠ 2/1 ⇒ k ≠ 6।
दो संख्याओं का योग 27 और अंतर 3 है। बड़ी संख्या है
1. 15
2. 12
3. 14
4. 13
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 15. x + y = 27, x − y = 3 ⇒ x = 15।
k के किस मान पर 3x − y + 1 = 0 और 6x − 2y + k = 0 असंगत हैं?
1. k = 2
2. k = 1
3. k ≠ 2
4. सभी k
उत्तर देखें
उत्तर: (c) k ≠ 2. 3/6 = −1/−2 = 1/2; असंगत जब 1/k ≠ 1/2, अर्थात k ≠ 2।
5 पेंसिल व 7 पेन ₹50 के, 7 पेंसिल व 5 पेन ₹46 के हैं। एक पेन का मूल्य है
1. ₹3
2. ₹6
3. ₹4
4. ₹5
उत्तर देखें
उत्तर: (d) ₹5. जोड़ने पर x + y = 8; घटाने पर y − x = 2 ⇒ y = 5।

सभी अध्याय: कक्षा 10 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।