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रैखिक समीकरण एवं आलेख

संख्यात्मक अभिरुचि

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सार

रैखिक समीकरण प्रतिस्थापन या विलोपन से हल होते हैं; ax + by = c के आलेख ढाल और अंतःखंड वाली सीधी रेखाएँ हैं।

मुख्य बिंदु

विलोपन: गुणांक बराबर करें और समीकरण जोड़ें या घटाएँ।
a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2 के लिए: a1/a2 ≠ b1/b2 हो तो अद्वितीय हल; a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 हो तो कोई हल नहीं; सब बराबर हों तो अनंत हल।
y = mx + c की ढाल m है; c, y-अंतःखंड है।
अंतःखंड रूप x/a + y/b = 1 अक्षों को a और b पर काटता है।
समांतर रेखाओं की ढाल बराबर होती है; लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल −1 होता है।

व्याख्या

शाब्दिक प्रश्न: चर को स्पष्ट परिभाषित करें, फिर हर वाक्य को समीकरण में बदलें।
x/a + y/b = 1 और अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ab।
x और y अंकों वाली दो अंकीय संख्या: 10x + y; उलटी संख्या 10y + x।
हल को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँचें।

चरण-दर-चरण

समीकरणों में बदलें।
विलोपन कर हल करें।
दोनों समीकरणों में जाँचें।

उदाहरण

2x + 3y = 12 और x − y = 1 → x = y + 1 → 2y + 2 + 3y = 12 → y = 2, x = 3।
रेखा x/4 + y/3 = 1 अक्षों को (4, 0) और (0, 3) पर मिलती है; त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6।
दो अंकीय संख्या और उसकी उलटी संख्या का योग 121 है और अंकों का अंतर 1 है → 11(x + y) = 121 → x + y = 11 → 65 या 56।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

सामान्य भूल: विलोपन में चिह्न की गलती।
सामान्य भूल: ढाल और अंतःखंड में भ्रम।
सामान्य भूल: दोनों समीकरणों में जाँच न करना।

त्वरित पुनरावृत्ति

a1/a2, b1/b2, c1/c2 की तुलना करें।
ढाल m, अंतःखंड c।
अंतःखंड रूप से क्षेत्रफल ½ab।

अभ्यास MCQ

रेखा y = 3x + 2 की प्रवणता है
1. 1/3
2. 2
3. −3
4. 3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (d) 3. y = mx + c में m प्रवणता है।
2x + 3y = 6 का x-अंतःखंड है
1. 2
2. 3
3. 6
4. −3
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 3. y = 0 रखें: 2x = 6।
2x + y = 7 और x − y = 2 को हल करें।
1. x = 1, y = 5
2. x = 2, y = 3
3. x = 3, y = 1
4. x = 4, y = −1
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) x = 3, y = 1. जोड़ने पर 3x = 9।
x = 4 का आलेख कैसी रेखा है?
1. मूल बिंदु से होकर
2. x-अक्ष के समांतर
3. y-अक्ष के समांतर
4. अक्षों से 45° पर
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) y-अक्ष के समांतर. प्रत्येक बिंदु पर x = 4 है।
समान प्रवणता और भिन्न अंतःखंड वाली दो रेखाएँ होती हैं
1. लंबवत
2. समांतर
3. संपाती
4. एक बिंदु पर प्रतिच्छेदी
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (b) समांतर. वे कभी नहीं मिलतीं।
k के किस मान के लिए 2x + 3y = 5 और 4x + ky = 10 के अनंत हल होंगे?
1. 5
2. 3
3. 6
4. 10
नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 6. अनुपात 2/4 = 3/k = 5/10 से k = 6।

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