बीजीय सर्वसमिकाएँ एवं करणी

सार

सर्वसमिकाओं और करणी के नियमों को मिलाकर (√a + √b)² या 1/(√a − √b) जैसे व्यंजक एक चरण में सरल होते हैं।

मुख्य बिंदु

• (√a + √b)(√a − √b) = a − b।
• (√a + √b)² = a + b + 2√(ab)।
• परिमेयकरण: अंश और हर दोनों को संयुग्मी से गुणा करें।
• यदि x = a + √b, तो 1/x परिमेयकरण से निकाला जा सकता है।
• करणियों की तुलना: दोनों धनात्मक हों तो दोनों पक्षों का वर्ग करें।

व्याख्या

• x = √3 + 1 → x² = 4 + 2√3।
• x = 2 + √3 के लिए x + 1/x: 1/x = 2 − √3, इसलिए x + 1/x = 4।
• √(a + 2√b) को √m + √n लिखा जा सकता है जब m + n = a और mn = b।
• √3 + √5 और √2 + √6 की तुलना के लिए दोनों का वर्ग करें: 8 + 2√15 बनाम 8 + 2√12।

चरण-दर-चरण

1. संयुग्मी या सर्वसमिका पहचानें।
2. परिमेयकरण या प्रसार करें।
3. सरल करें और सन्निकट मान से जाँचें।

उदाहरण

• (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2।
• 6/(√5 − √2) = 6(√5 + √2)/(5 − 2) = 2(√5 + √2)।
• x = 2 + √3 → x + 1/x = (2 + √3) + (2 − √3) = 4 → x² + 1/x² = 16 − 2 = 14।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

• सामान्य भूल: √(a + b) को √a + √b लिखना।
• सामान्य भूल: संयुग्मी के बजाय उसी चिह्न से परिमेयकरण करना।
• सामान्य भूल: वर्ग करते समय 2√(ab) पद छोड़ देना।

त्वरित पुनरावृत्ति

• संयुग्मी से मूल हटता है।
• x = 2 + √3 → x + 1/x = 4।
• करणियों की तुलना के लिए वर्ग करें।

अभ्यास MCQ

1. यदि a + b = 5 और ab = 6, तो a² + b² है

   1. 13
   2. 25
   3. 19
   4. 11

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   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) 13. (a + b)² − 2ab = 25 − 12।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

2. यदि x + 1/x = 3, तो x² + 1/x² है

   1. 7
   2. 9
   3. 11
   4. 5

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   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) 7. (x + 1/x)² − 2 = 9 − 2।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

3. (√3 + √2)(√3 − √2) का मान है

   1. 1
   2. 5
   3. √6
   4. 0

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   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) 1. (a + b)(a − b) = a² − b² = 3 − 2।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

4. 1/(√5 − 2) का परिमेयकरण करने पर मिलता है

   1. √5 − 2
   2. √5 + 2
   3. (√5 + 2)/9
   4. 1/3

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   उत्तर देखें

   उत्तर: (b) √5 + 2. √5 + 2 से गुणा करें; हर 5 − 4 = 1 हो जाता है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

5. यदि a + b = 4 और ab = 3, तो a³ + b³ है

   1. 28
   2. 64
   3. 36
   4. 52

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) 28. (a + b)³ − 3ab(a + b) = 64 − 36।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

6. √48 का सरलतम रूप है

   1. 6√2
   2. 3√4
   3. 2√12
   4. 4√3

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (d) 4√3. 48 = 16 × 3।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

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