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वर्ग और घन – कक्षा 8 गणित नोट्स, महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ

NCERT कक्षा 8 गणित, अध्याय 1। नोट्स, मुख्य शब्द, उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न और MCQ।

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अध्याय का सार

वर्ग संख्या n × n और घन संख्या n × n × n होती है। इनके पैटर्न से वर्गमूल और घनमूल जल्दी निकलते हैं।

वर्ग और वर्गमूल

पूर्ण वर्ग केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर ख़त्म होते हैं।
प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
अभाज्य गुणनखंड से वर्गमूल: गुणनखंडों के जोड़े बनाएँ (√144 = √(2⁴ × 3²) = 12)।

घन और घनमूल

घन: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000।
अभाज्य गुणनखंड से घनमूल: त्रिक बनाएँ (∛1728 = 2² × 3 = 12)।
घन का इकाई अंक: 2 → 8, 3 → 7, 7 → 3, 8 → 2; बाकी वही।

मुख्य शब्द

पूर्ण वर्ग: किसी पूर्ण संख्या का वर्ग
पूर्ण घन: किसी पूर्ण संख्या का घन
वर्गमूल: वह संख्या जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या मिले, जैसे √49 = 7

सूत्र

n² = प्रथम n विषम संख्याओं का योग
5 पर ख़त्म संख्या का वर्ग: 35² = 3 × 4 | 25 = 1225

उत्तर सहित महत्वपूर्ण प्रश्न

क्या 2,352 पूर्ण वर्ग है? गुणनखंडों से कारण दीजिए।2 अंक

2,352 = 2⁴ × 3 × 7²; 3 एक बार आता है, अतः पूर्ण वर्ग नहीं।

अभाज्य गुणनखंडन से 13,824 का घनमूल ज्ञात कीजिए।3 अंक

13,824 = 2⁹ × 3³ = (2³ × 3)³ = 24³। घनमूल = 24।

1,323 को पूर्ण घन बनाने हेतु किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें, और वह घनमूल ज्ञात कीजिए। 6,084 का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।5 अंक

1,323 = 3³ × 7²। 7² तीन के समूह में नहीं, अतः 49 से भाग: 1,323 ÷ 49 = 27 = 3³, घनमूल 3। 6,084 = 2² × 3² × 13², अतः √6,084 = 2 × 3 × 13 = 78।

त्वरित पुनरावृत्ति

वर्गमूल में जोड़े; घनमूल में त्रिक।
12² = 144, 15² = 225, 20² = 400।
10³ = 1000, 12³ = 1728।

परीक्षा सुझाव

2, 3, 7 या 8 पर ख़त्म संख्या कभी पूर्ण वर्ग नहीं।
पूर्ण घन बनाने के लिए त्रिक पूरे करने वाले अभाज्यों से गुणा करें।

अभ्यास MCQ

इनमें पूर्ण वर्ग कौन है?
1. 48
2. 64
3. 72
4. 98
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 64. 8 × 8।
5 का घन है
1. 25
2. 125
3. 15
4. 75
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 125. 5 × 5 × 5।
√196 है
1. 13
2. 16
3. 14
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: (c) 14. 196 = 2² × 7², मूल 14।
72 को पूर्ण वर्ग बनाने हेतु किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें?
1. 2
2. 3
3. 6
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 2. 72 = 2³ × 3²; एक और 2 चाहिए।
√1764 बराबर है
1. 38
2. 42
3. 44
4. 48
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 42. 42 × 42 = 1764।
∛2744 है
1. 12
2. 14
3. 16
4. 18
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 14. 2744 = 2³ × 7³।
1350 को पूर्ण घन बनाने हेतु किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें?
1. 20
2. 10
3. 5
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (a) 20. 1350 = 2 × 3³ × 5²; 2² × 5 = 20 चाहिए।
72 को पूर्ण वर्ग बनाने हेतु सबसे छोटी गुणक संख्या है
1. 3
2. 2
3. 6
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: (b) 2. 72 = 2³ × 3²; एक और 2।

सभी अध्याय: कक्षा 8 गणित

यह सामग्री Kundali IQ ने पुनरावृत्ति में मदद हेतु मानक, स्थापित तथ्यों से लिखी है। यह NCERT का आधिकारिक प्रकाशन नहीं है; अपनी पाठ्यपुस्तक भी अवश्य पढ़ें।