नमूना एवं सांख्यिकीय अनुमान

सार

सांख्यिकीय अनुमान प्रतिदर्श आँकड़ों से समष्टि के मानों का आकलन करता है और ज्ञात त्रुटि-प्रायिकताओं के साथ परिकल्पनाओं का परीक्षण करता है।

मुख्य बिंदु

• प्रतिदर्श-चयन: सरल यादृच्छिक, स्तरित, क्रमबद्ध, गुच्छ, बहु-चरणीय।
• माध्य की मानक त्रुटि = σ/√n।
• माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल (बड़ा प्रतिदर्श) = x̄ ± 1.96 σ/√n।
• प्रथम प्रकार की त्रुटि: सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना (प्रायिकता α); द्वितीय प्रकार: असत्य शून्य परिकल्पना को स्वीकार करना (प्रायिकता β)।
• बड़े प्रतिदर्श या ज्ञात σ के लिए z-परीक्षण; अज्ञात σ वाले छोटे प्रतिदर्श के लिए t-परीक्षण; आवृत्तियों और स्वतंत्रता के लिए χ²।

व्याख्या

• परीक्षण की शक्ति = 1 − β।
• बड़े प्रतिदर्श से मानक त्रुटि छोटी और अंतराल संकरे होते हैं।
• एक-प्रतिदर्श t-परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि = n − 1।
• p-मान α से कम होने पर शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाती है।

चरण-दर-चरण

1. पूछा गया माप या परीक्षण और उसका सूत्र पहचानें।
2. गणना से पहले आँकड़े व्यवस्थित करें (तालिका, योग)।
3. परिणाम की व्याख्या करें (चिह्न, आकार, सार्थकता)।

उदाहरण

• σ = 10, n = 100 → मानक त्रुटि = 1।
• x̄ = 50, σ = 10, n = 100 → 95% विश्वास्यता अंतराल = 50 ± 1.96 = 48.04 से 51.96।
• प्रथम प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता सार्थकता स्तर α के बराबर होती है।

ग़लतियों से बचें और उन्नत बिंदु

• सामान्य भूल: σ/√n के स्थान पर σ का प्रयोग।
• सामान्य भूल: प्रथम और द्वितीय प्रकार की त्रुटियों को मिला देना।
• सामान्य भूल: अज्ञात σ वाले छोटे प्रतिदर्श के लिए z-परीक्षण।

त्वरित पुनरावृत्ति

• SE = σ/√n।
• x̄ ± 1.96 SE।
• α = प्रथम प्रकार की त्रुटि।

अभ्यास MCQ

1. सरल यादृच्छिक प्रतिचयन में जनसंख्या की प्रत्येक इकाई को

   1. केवल बड़ी होने पर अवसर मिलता है
   2. चयन का कोई अवसर नहीं मिलता
   3. चयन का समान अवसर मिलता है
   4. निश्चित स्थान मिलता है

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) चयन का समान अवसर मिलता है. लॉटरी और यादृच्छिक संख्या विधियों का प्रयोग होता है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

2. सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना कहलाता है

   1. प्रकार I त्रुटि
   2. प्रकार II त्रुटि
   3. प्रतिचयन ढाँचा
   4. मानक त्रुटि

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) प्रकार I त्रुटि. इसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

3. प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि है

   1. σ × n
   2. σ/√n
   3. σ/n²
   4. √σ/n

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

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   उत्तर: (b) σ/√n. प्रतिदर्श आकार बढ़ने पर यह घटती है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

4. जनसंख्या को समरूप समूहों में बाँटकर प्रत्येक से प्रतिदर्श लेना है

   1. सुविधा प्रतिचयन
   2. गुच्छ प्रतिचयन
   3. स्तरीकृत प्रतिचयन
   4. कोटा प्रतिचयन

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (c) स्तरीकृत प्रतिचयन. स्तर आंतरिक रूप से समान होते हैं।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

5. दो छोटे प्रतिदर्शों के माध्यों की तुलना हेतु कौन-सा परीक्षण प्रयुक्त होता है?

   1. माध्य का चिह्न
   2. स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण
   3. केवल प्रसरणों हेतु F-परीक्षण
   4. t-परीक्षण

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (d) t-परीक्षण. अज्ञात σ वाले छोटे प्रतिदर्शों हेतु t-परीक्षण उपयुक्त है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ

6. यादृच्छिक आरंभ के बाद सूची से हर 10वाँ नाम चुनना है

   1. क्रमबद्ध प्रतिचयन
   2. स्तरीकृत प्रतिचयन
   3. गुच्छ प्रतिचयन
   4. निर्णय प्रतिचयन

   नोट्स देखें · इसी विषय के सवाल

   उत्तर देखें

   उत्तर: (a) क्रमबद्ध प्रतिचयन. अंतराल k निश्चित होता है।

   गलती के लिए सेव सही आया गलत हुआ